Trikomi tenglamasi xususiy yechimlari va ularni Bessel funksiyalari orqali qurish Xidirov Baxtiyor Choriyevich

Trikomi tenglamasi xususiy yechimlari va ularni
Bessel funksiyalari orqali qurish
Xidirov Baxtiyor Choriyevich
Termiz davlat universiteti II kurs magistranti
ANNOTATSIYA: Fizika - matematika tenglamalari fanida ko‘p qo‘laniladigan, gidrodinamik sistemalarning asosiy tenglamasi bo‘lgan Trikomi tenglamasi aralash tipga tegishli bo‘lib fizika va texnikada keng qo‘llaniladi, tenglamaning xususiy yechimlarini topish nazariy fizika va matematika fanlarida muhim ahamiyatga ega deb hisoblash to‘g‘ri bo‘ladi.
KALIT SO‘ZLAR: Trikomi tenglamasi, o‘zgaruvhciga ajratish, Besselning maxsus funksiyalari, singular koeffitsient, Trikomi – Naxushev masalasi, parameter va hollar.
Bizga ikkita mustaqil o‘zgaruvchiga ega funksiya sohada berilgan va ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega Trikomi tenglamasi quyidagicha berilsin.
yoki (1)
(1) tenglamaning xarakteristik tenglamasini tuzamiz,

bundan
(2)
orqali tipini aniqlaymiz
1) bo‘lsa giperbolik tipga,
2) bo‘lsa parabolik tipga,
3) bo‘lsa elliptik tipga tegishli tenglama deyiladi.
demak Trikomi tenglamasi aralash tipga tegishli ekan.
(2) tenglama (1) tenglamaning xarakteristik tenglamasi bo‘lib, uning yechimlari .
xarakteristikalar deyiladi
.y o’zgaruvchining ishorasiga qarab aniqlangani uchun aralash tipdagi tenglama hisoblanadi.
Endi xususiy hosilali tenglamalarni yechishda ko’p qo’llaniladigan usullardan biri o’zgaruvchilarni ajratish usulidan (Fur’e usuli) foydalanib Trikomi tenglamasining yechimini izlaymiz

_{deb faraz qilamiz va undan xususiy hosilalarni olamiz}:
va
Natijalarni (1) tenglamaga qo’ysak

Bundan bir xil noma’lumlarni bir tarafga o’tkazsak


tenglikka ega bo’lamiz. Bu tenglamaning chap tomoni faqat x o’zgaruvchiga, o’ng tomoni esa faqat y o`zgaruvchiga bog’liq bo’lgani uchun nisbatlar o’zgarmas songa teng bo’ladi.
(3)
(3) tenglamadan (1) tenglama ikkita chiziqli ikkinchi tartibli tenglamaga ajaladi.
(4)
(5)
(4) tenglamaning yechimini oddiy differensial tenglama sifatida quyidagicha izlaymiz.
Dastlab (4) tenlamaning yechimini, kabi belgilab kerakli hosilalar olamiz va (4) tenglamaga qo’yib r noma’lumni aniqlaymiz

_{Bundan r ni topamiz}

yechimni hosil qilish uchun, hollarni alohida qaraymiz.
1) bo’lsa (4) tenglamaning umumiy yechimi
_,
Agar yechimda va kabi almashtirsak giperbolik funksiyaga keladi.

2) bo’lsa (4) tenglamaning umumiy yechimi



₃₎ bo’lsa (4) tenglamaning umumiy yechimi



_{bo’lib, bu uchta funksiyalar xos funksiyalar deyiladi.}
Endi ikkinchi y o’zgaruvchiga bog’liq funksiya ni (5) tenglama uchun quyidagi darajali qator ko’rinishida izlaymiz.
(6)
_Bundan hosilalarni quyidagicha hisoblaymiz:

(7)
_{Darajalarni bir xil qilib olganimizdan keyin hosila olingan (7) yig’indilarni yuqoridagi (5) tenglamaga qo’ysak quyidagi natijaga ega bo’lamiz:}

Endi aniqmas koeffitsentlar usulidan foydalanib y ning oldidagi barcha nolga teng koeffitsientlarni topamiz:
deb hisoblab
n=3 hadidan boshlab yuqoridagi rekurent tenglama orqali quyidagilarga ega bo’lamiz

_{Bu koeffitsiyentlarning qiymati induksiya usuli orqali quyidagicha hisoblanadi;}

Endi n=1,2… uchun shaklidagi shartlarni ko’rib chiqamiz
(8)
dan n=1,4,7…
<sub>…
Yana induksiya orqali,

Nihoyat n=1,2,… uchun, ko’rinishdagi koeffitsentlarni hisoblab topamiz
…</sub>
Yana induksiyadan

_{Shu sababli n=1,2,3… uchun umumiy yechim quyidagicha bo’ladi}

n=1,2,… uchun yuqoridagi yig’indilar Bessel funksiyalari orqali ifodalanadi. Endi (5) tenglamaning yechimini Bessel funksiyalari orqali quyidagi uchta
hollarni alohida qaraymiz.

1)

bo’lganda

bo’lganda yechim quyidagicha

2) bo’lganda

3)

bo’lganda

tenglama yechim quyidagicha

Bu yerda va maxsus funksiyalar birinchi tur Bessel fuksiyalari bo’lib quyidagicha bo’ladi:
va
<sub>Endi yechimni quyidagicha quramiz:


1)</sub> bo’lsa ,yechim

yoki

2) bo’lsa ,yechim

3) bo’lsa ,yechim

Bundan tashqari x va y ga nisbatan chiziqli bo’lmagan xususiy yechimlari yig’indisi quyidagicha (A,B,C,D-o’zgarmas sonlar)