Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning kramer usuli

CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI
YECHISHNING KRAMER USULI

Chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer usuli bilan yechish
Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini topishni oldin ikki nomaʼlumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi uchun qaraymiz. Ushbu ikki nomaʼlumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi

dan, birinchi tenglamani ga, ikkinchi tenglamani ga hadma-had koʻpaytiramiz va hosil boʻlgan tenglamalarni qoʻshamiz, natijada
(1)

tenglama hosil boʻladi. Xuddi shunga oʻxshash, 1-tenglamani ga, 2- tenglamani ga hadma-had koʻpaytirib, hosil boʻlgan tenglamalarni qoʻshib ushbuni hosil qilamiz:

(2)

boʻlgani uchun, quyidagi belgilashlarni kiritib

1. 
   va (2) tengliklarni
   

koʻrinishda yozish mumkin. Bundan boʻlsa,

boʻladi, yoki determinantlar orqali yozsak

Bu formulalarga Kramer formulalari deyiladi, bunda yordamchi determinant determinantning birinchi ustunini ozod hadlar bilan, da esa ikkinchi ustun ozod hadlar bilan almashtiriladi. determinantga tenglamalar sistemasining determinanti deyiladi.

Shunday qilib, berilgan chiziqli tenglamalar sistemasining determinanti 0 dan farqli boʻlsa, sistema yagona yechimga ega boʻladi.
Endi sistemaning determinanti 0 ga teng, yaʼni

boʻlsin. Bu holda 1-tenglamaning nomaʼlumlari oldidagi koeffitsiyentlari 2-tenglamaning nomaʼlumlari oldidagi koeffitsiyentlariga proporsionaldir.

Haqiqatan, koeffitsiyentlardan biri, masalan noldan farqli boʻlsin deb bilan belgilasak, bundan boʻladi. U holda tenglikdan
boʻlib, kelib chiqadi. Bularni hisobga olib, berilgan sistemani
(3)
koʻrinishda yozish mumkin. bunda ikkita xususiy hol boʻlishi mumkin:
1) ikkala va determinantlar 0 ga teng, yaʼni bundan , chunki .
Bu holda sonlar sonlarga proporsional boʻlib, berilgan tenglamalar sistemasi ushbu koʻrinishda boʻladi:

Shunday qilib, sistemaning ikkinchi tenglamasi, birinchi tenglamasidan uning ikkala qismini ga koʻpaytirish bilan hosil qilinadi, yaʼni u 1-tenglamaning natijasidir. Bu holda berilgan sistema cheksiz koʻp yechimlar toʻplamiga ega boʻladi. Masalan, ga ixtiyoriy qiymatlar berib, ning tegishli qiymatini
tenglikdan topamiz.
2) va determinantlardan hyech boʻlmaganda bittasi 0 dan farqli, masalan,
boʻlsin. U holda boʻladi, demak .
bu holda (3) sistemadan maʼlum boʻladiki, tenglama birinchi tenglamaga qarama-qarshidir. Demak, berilgan sistema yechimga ega emas, yaʼni birgalikda emas.
Endi uch nomaʼlumli uchta tenglamalar sistemasini qaraymiz:
(4)
tenglamalar sistemasi berilgan boʻlsin. Bu sistema nomaʼlumlari koeffisiyentlaridan ushbu determinantni tuzamiz:

bunga (4) sistemaning determinanti yoki aniqlovchisi deyiladi. boʻlsa, (4) sistema yagona
(5)
yechimga ega boʻladi, bunda

(5) formulaga ham ikki nomaʼlumli ikkita tenglamalar sistemasidagidek Kramer formulalari deyiladi. Kramer formulalari nomaʼlumli ta tenglamalar sistemasi uchun ham umumlashtiriladi.

Endi misollar qaraymiz:

1-misol. Ushbu

tenglamalar sistemasining yechimini toping.
Yechish. Bu sistemaning determinanti .

Demak, berilgan tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega.

.

Shunday qilib, .