Chiziqli tengsizliklar sistemasi. Minkovskiy teoremasi

---

1/3
reja.tdpu.uz/shaxsiyreja/content/1992/html/49131/10 Chiziqli tengsizliklar sistemasining hamjoysizlik sharti. Chiziqli
programmalashning kanonik masalalari..htm
 CHIZIQLI TENGSIZLIKLAR SISTEMASI. MINKOVSKIY TEOREMASI
Reja
1. Chiziqli tengsizliklar sistemasi.
2. Chiziqli tengsizliklar sistemasining uechimi, manfiymas, musbat uechimlar.
3. Chiziqli tengsizliklar sistemasining hamjoyli, hamjoysizligi.
4. Teng kuchli sistemalar.
5. Qavariq konus.
6. Chiziqli tengsizliklar sistemasining chiziqli kombinatsiyasi.
7. Chiziqli tengsizliklar sistemasining natijasi.
TA’RIF.
(bu yerda ko’rinishdagi sistema chiziqli tengsizliklar
sistemasi deyiladi.
desak, (1) sistemani
vektor shaklda yozish mumkin:
bu yerda
(1) sistemaning koeffitsientlaridan tuzilgan
matrisani A bilan belgilaymiz:
(1) sistemani matrisaviy shaklda ham yozish mumkin:

ℛ
− ℛ haqiqiy sonlar maydoni ustida aniqlangan n o’lchovli arifmetik
vektor fazo va R uning asosiy to’plami bo’lsin.
TA’RIF.
n

---

2/3
tengsizliklar o’rinli bo’lsa, koordinatalari ξ ,ξ ,...,ξ  bo’lgan ℛ dan olingan vektor (1)
sistemaning yechimi deyiladi.
TA’RIF. (1) sistemaning kamida bitta yechimga ega bo’lsa, u holda sistema hamjoyli,
birorta ham yechimga ega bo’lmasa, hamjoysiz sistema deyiladi.
TA’RIF. Agar ξ ≥0 ( i =1,2,…,n)  bo’lsa, u holda (ξ ,ξ ,...,ξ  ) 
∈ ℛ manfiymas vektor
deyiladi. Agar (ξ ,ξ ,...,ξ  ) vektorning kamida bitta koordinatasi musbat bo’lsa, bu vektor
musbat vektor deyiladi.
TA’RIF. (1) sistemaning ixtiyoriy yechimi (4) sistemaning yechimi bo’lsa, u holda
sistema (1) sistemaning natijasi
deyiladi.
TA’RIF.
ko’rinishdagi tengsizliklik (bu yerda λ ≥0, ... , λ ≥0) (2) sistemaning manfiymas chiziqli
kombinatsiyasi deyiladi.
TEOREMA. (2) sistemaning ixtiyoriy manfiymas chiziqli kombinatsiyasi bu sistemaning
natijasi bo’ladi.
ISBOTI. (5) tengsizlik (2) sistemaning manfiymas chiziqli kombinatsiyasi bo’lsin. ξ 
∈ R
(2) sistemaning ixtiyoriy yechimi bo’lsin:
(6) dagi i – tengsizlikni λ (i =1,2, … ,m) ga
ko’paytirib, hosil bo’lgan tengsizliklarni
qo’shsak,  
1 2
n
n
i
1 2
n
n
1 2
n
1
m
n
i

---

3/3
tengsizlikni hosil qilamiz. Shunday qilib, (5) tengsizlik (2) sistemaning natijasi bo’ladi.
𝒱
− ℜ haqiqiy sonlar maydoni ustidagi arifmetik vektor fazo bo’lsin. 𝒱 = ℜ bo’lib, a ,a ,
…, a  vektorlar 𝒱 ga tegishli.
TA’RIF tengsizliklar sistemasi bir jinsli
tengsizliklar sistemasi deyiladi.
TA’RIF. Qo’shish va skalyar (manfiymas haqiqiy
sonlar)ga ko’paytirish amallariga nisbatan yopiq 𝒱 vektor fazoning bo’sh bo’lmagan
vektorlar to’plami 𝒱 fazoning qavariq konusi deyiladi.
MISOLLAR. 1. to’plam ℜ fazoning qavariq konusi
bo’ladi. Bu konus 
 vektordan hosil bo’lgan yarim
to’g’ri chiziq deyiladi.
2. ℜ fazoga tegishli a ,a , …, a  vektor sistemaning barcha
manfiymas chiziqli kombinatsiyalari to’plami bu fazoning
qavariq konusi bo’ladi. Bu to’plamni L ( a ,a , …, a ) kabi belgilanadi.
3. 𝒱=ℛ bo’lib, ℒ fazo 𝒱 fazoning fazoostisi va L uning asosiy to’plami bo’lsa, L to’plam 𝒱
fazoning qavariq konusi bo’ladi.
4. Bir jinsli tengsizliklar sistemasining barcha manfiymas yechimlari to’plami 𝒱 fazoning
qavariq konusi bo’ladi.
TEOREMA. (1’) bir jinsli chiziqli tengsizliklar sistemasining barcha yechimlari to’plami 𝒱
fazoning qavariq konusi bo’ladi.
Chiziqli tengsizliklar nazariyasining asosiy teoremalaridan biri Minkovskiy teoremasidir.
TEOREMA (Minkovskiy teoremasi). bx≤0 tengsizlik
tengsizlikning natijasi bo’lsa, u holda b
∈ L ( a ,a , …,
a ) bo’ladi.
n
1 2
m
n
n
1 2
m
+
1 2
m
n
+
1 2
m