Chiziqning parametrik tenglamalari

Ax + Cz + D \u003d 0
K va M nuqtalar tekislikda yotganligi sababli biz ikkita shartni olamiz.

Ushbu shartlardan D orqali biz A va C koeffitsientlarini bildiramiz.

Biz topilgan koeffitsientlarni tekislikning tengsiz tenglamasiga almashtiramiz:

beri, biz D ni qisqartiramiz:

5-misol:
M (7,6,7), K (5,10,5), R (-1,8,9) uch nuqtadan o'tgan tekislikning tenglamasini toping.
Qaror:
Berilgan 3 nuqtadan o'tgan tekislikning tenglamasidan foydalanamiz.

m, K, R nuqtalarning koordinatalarini birinchi, ikkinchi va uchinchi o'rinlar bilan almashtirsak, quyidagilarga erishamiz:

1-qatordagi determinantni aniqlang.

6-misol:
M 1 (8, -3,1) nuqtalardan o'tgan tekislikning tenglamasini toping; M 2 (4,7,2) va tekislikka perpendikulyar 3x + 5y-7z-21 \u003d 0
Qaror:
Sxematik chizma tuzamiz (5.7-rasm).

5.7-rasm
Biz berilgan P 2 tekislikni va istalgan P 2 tekisligini bildiramiz. Berilgan tekislik tenglamasidan P 1 tekisligiga perpendikulyar bo'lgan vektorning proektsiyasini aniqlaymiz.
Parallel uzatish orqali vektor P 2 tekisligiga ko'chirilishi mumkin, chunki muammoning shartlariga ko'ra P 2 tekisligi P 1 tekisligiga perpendikulyar, ya'ni vektor P 2 tekisligiga parallel bo'ladi.
P 2 tekisligida yotgan vektorning proektsiyasini toping:

endi biz ikkita vektorga egamiz va P 2 tekisligida yotamiz. aniq vektor vektorlarning vektor mahsulotiga teng va P 2 tekisligiga perpendikulyar bo'ladi, chunki u tekislikka perpendikulyar va shuning uchun uning normal vektori P 2 bo'ladi.

Vektorlar va ularning proektsiyalari bo'yicha berilgan:

Keyinchalik, berilgan nuqtadan vektorga perpendikulyar o'tgan tekislikning tenglamasidan foydalanamiz. Bir nuqta sifatida siz M 1 yoki M 2 nuqtalarini istalganini olishingiz mumkin, masalan M 1 (8, -3,1); R 2 tekisligiga normal vektor sifatida

74 (x-8) +25 (y + 3) +50 (z-1) \u003d 0
3 (x-8) + (y-3) +2 (z-1) \u003d 0
3x-24 + y + 3 + 27-2 \u003d 0
3x + y + 2z-23 \u003d 0
7-misol:
Chiziq ikki tekislikning kesishishi bilan berilgan. Chiziqning kanonik tenglamalarini toping.



Qaror:
Biz quyidagi tenglamaga egamiz:

Nuqtani topish kerak ( x 0, y 0, z 0) chiziq va yo'nalish vektori orqali o'tadi.

Biz o'zboshimchalik bilan koordinatalardan birini tanlaymiz. Masalan z \u003d 1, keyin ikkita noma'lum ikkita tenglama sistemasini olamiz:

Shunday qilib, kerakli chiziqda yotgan nuqtani topdik (2,0,1).

Istalgan chiziqning yo'naltiruvchi vektori sifatida biz vektorlarning vektor hosilasini olamiz va normal vektorlar , bu kerakli chiziqqa parallel degan ma'noni anglatadi.

Shunday qilib, chiziqning yo'naltiruvchi vektori proektsiyalarga ega. Berilgan vektorga parallel ravishda berilgan nuqtadan o'tgan chiziq tenglamasidan foydalanish:

Shunday qilib, kerakli kanonik tenglama quyidagi shaklga ega:

8-misol: