Chiziqsiz giperbolik tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalani yechishda Fur’e almashtirishini qo’llash

Чизиқсиз гиперболик типдаги тенглама учун чегаравий масалани ечишда Фуръе алмаштиришини қўллаш.


Маниёзов О. ФДУ магисртанти
Маматова З. ФДУ магистранти

Ушбу ишда қуйидаги масала ўрганилади.

Тенгламанинг
(1)
(2)
шартларни қаноатлантирувчи
функциясини топинг.
Бу ерда

еллиптик оператор,
Биз n=2 бўлган ҳол учун қуйидаги масалани ўрганиб чиқамиз,бу масалани тадбиқ қилишда n иҳтиёрий чекли бўлган ҳол учун ҳам n=2 каби исботланади.
Ушбу тенгламанинг
(1`)
соҳада
(2) бошланғич шартларни қаноатлантирувчи ечими топилсин .
Бунинг учун
(3)
тенгламани (2) бошланғич шартларни қаноатлантирувчи ечимини топамиз. Бунинг учун эса (1)-(2) масаласининг ечимини
(*)
кўринишида излаймиз.
Бунда функция
1) (4)
тенгламанинг (2) шартларни қаноатлантирувчи ечими ва функция қуйидаги
2) (5)
(6)
масалани эчими булади. Шу билан бирга (3) тенгламанинг (2) шартларни қаноатлантирувчи ечими бўлсин.
Буларни эътиборга олган холда бу масалаларни Фуръе алмаштиришларини қўллаб ҳал қиламиз. Фуръе алматиришлари қуйидаги формулалар ёрдамида берилади.
(I)
(II)
Бу ерда фуръе алмаштириши эса тескари фуръе алмаштириши. Бу эрда (4) тенгламанинг (2) шартларни қаноатлантирувчи ечими ва (5) тенгламанинг (6) шартларни қаноатлантирувчи ечими да кўрсатиб ўтилган.
(3)тенгламани (2) шартларни қаноатлантирувчи ечими (4) ва (5) тенгламаларнинг ечимлари йиғиндисидан, иборат бўлганлиги учун
(7) кўринишда бўлади. Агар (7) да қуйидаги белгилашларни киритсак
;

ечимнинг кўриниши
, (8)
каби бўлади.
Шундай қилиб, асосий масала (1) тенгламани (2) шартларини қаноатлантирувчи ечимини топишдан иборат. Тенгламамиз бир жинсли бўлганда унинг ечимининг кўриниши (7) кўринишда бўлади агар бир жинсли бўлмаса унинг ечими (8) кўринишни олади.
Энди (8) тенгламани тадқиқ қилишга ўтамиз. (8) тенгламани ечими мавжудлигини ва ягоналигини тадқиқ қилиш учун қуйидаги ёрдамчи лемма ва теоремадан фойдаланамиз .
Лемма: даги нолни ўз ичига олувчи интервал бўлсин ва узлуксиз функция ҳамда , , ва барча лар учун
тенгсизлик бажарилсин. У ҳолда лар учун
тенгсизлик ўринлидир.
Таъриф: , очиқ тўпламлар, қандайдир акслантириш.Агар акслантириш , тўпламда бўйича Липшица шартини қаноатлантиради деймиз ,агар мавжуд бўлиб, барча лар учун бир текисда тенгсизлик бажарилади.Шунингдек, агар функция мавжуд бўлиб тенгсизлик бажарилса ҳам Липшица шартини қаноатлантиради дейилади.
Теорема : , очиқ тўпламлар , очиқ интервал ва 0 ни қабул қилсин ҳамда икки ўлчовли узлуксиз акслантириш : даги нуқтани билан белгилаймиз. функция ихтиёрий компактларда да бўйича Липшица шартини ларга нисбатан текис равишда қаноатлантирсин.
У ҳолда ихтиёрий ва компактда интервал мавжуд бўлиб ихтиёрий учун
, шартни қаноатлантирувчи ягона узликсиз , акслантириш мавжуд. Бундан ташқари га акслантирувчи акслантириш узлуксиз бўлади.
Теорема : 1) функция Каратеодори шартларни бажарсин. 2) бу ерда
3)
4) , функциялар ушун уларнинг Фуръе интеграллари
яқинлашувчи бўлсин.
У ҳолда (8) тенгламанинг ечими мавжуд ва ягонадир.
Ягоналиги исботи: (8) тенгламанинг (2) шартларни қаноатлантирадиган яна битта (вектор функсия) эчими бор бўлсин.Унинг аниқланиш интервали бўлиб ларнинг аниқланиш интервалларининг умумий қисми да эканини кўрсатамиз .
,
Кейинги мулоҳазаларни олиб бориш учун вектор функсиянинг модули ,Коши тенгсизлиги,Лагранж айниятлари ва Липшица шартларидан
фойдаланамиз. Натижада учун

тенгсизликка эга бўламиз. Бунга Гронуолл леммасини қўлласак да экани келиб чиқади.Бу айният интервалда юқоридаги каби исботланади.Бу билан эчимнинг ягоналиги исботланади.
Эчимнинг мавжудлиги ларда келтирилган.


Адабиётлар.

1. Д.Х.Каримов,Б.СКалонов. Оприближенном ресҳении смесҳанной задаcҳи для одного квазилинейного вырождающегося уравнения выссҳего порядка «Исоледования по п проблемам физико-математиcҳеских наук», Сборник науcҳниных трудов Тасҳкенцкого ГПИ им,Низоми,1978г,том №240 стр.4-10

2. К.Б.Бойкузиев. Дифференциал тенгламалар.
Тосҳкент-«Укитувcҳи» 1983й ,350 бет.
3. Г.И.CҲандиров. Об одном обобщении неравенства Гронуолла и его применениях.Уcҳеные записки АзГУ,серия физ.мат и хим. наук, №6, 1958г Баку.
4. К.Х.СҲабадиков. О разресҳимости смесҳанной задаcҳи для одного нелинейного уравнения cҳетвертого порядка и непреривнои зависимости ресҳения от параметра. «Исоледования по п проблемам физико-математиcҳеских наук», Сборник науcҳниных трудов Тасҳкенцкого ГПИ им,Низоми,1978г,том №240 стр.23-28
5. Нарасимхон Р. Анализ на действительних икомплексных многообразиях. Москва «Мир» 1971г,231 стр
6. Б.М.Будак. А.А.Самарский, А.Н.Тихонов Сборник задаcҳ по математиcҳеской физике. Масква 1972г,687 стр