Что и как изучает механика

МИНИСТЕРСТВО ПО РАЗВИТИЮ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОММУНИКАЦИЙ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ИМЕНИ МУХАММАДА АЛЬ-ХОРАЗМИ
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

ТЕМА: ЧТО И КАК ИЗУЧАЕТ МЕХАНИКА

ВЫПОЛНИЛ: НАРЗУЛАЕВ К.А.
ПРОВЕРИЛ: ИМАМОВ Э.З.


ТАШКЕНТ – 2023 г.

1. 
   Оглавление
   
2. 
   Вступление
   
3. 
   Развитие основ механики.
   
4. 
   Физические основы механики.
   
5. 
   Представления о пространстве и времени.
   
6. 
   Классические представления о пространстве, времени и движении.
   
7. 
   Современные представления о пространстве, времени.
   
8. 
   Основы кинематики.
   
9. 
   Поступательное движение.
   а) траектория
   б) путь и перемещение
   в) скорость
   г) ускорение.
   
10. 
    Вращательное движение
    а) Вращательное движение и величины, его характеризующие
    б) Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение.
    в) Связь между поступательным и вращательным движением
    
11. 
    Принцип относительности Галилея.
    
12. 
    Преобразования Галилея
    
13. 
    Заключение.
    
14. 
    Литература.
    

“Конечной целью всех естественных наук является разыскание движений, лежащих в основе всех изменений, и причин, производящих эти движения, то есть слияние этих наук с механикой”. Гельмгольц

Вступление
Развитие основ механики.
Механика как наука, в современном понимании, возникла раньше других разделов физики. Вся современная физика развилась, в основном, на базе механики, начиная с 17 века. Принципы механики впервые были сформулированы Исааком Ньютоном (1643-1727) в его основном сочинении “Математические начала натуральной философии”, первое издание которого вышло в 1687 году. Многие выдающиеся ученые, предшественники Ньютона,- Архимед (ок. 287-212 до н.э.), Иоганн Кеплер (1571-1630), Галилео Галилей (1564-1642), Христиан Гюйгенс (1629-1695) и др., решили немало частных вопросов статики и отчасти динамики. Однако именно Ньютон был первым, кто сформулировал полную систему принципов механики и на их основе создал стройное здание этой науки. К задачам механики с равным основанием могут быть отнесены как движения тела под действием упругих сил, сил трения и всемирного тяготения, так и движения электрически заряженных тел под действием сил со стороны других электрически заряженных тел (неподвижных или движущихся). Однако относить к механике все задачи о движении электрически заряженных тел невозможно, потому что среди этих задач встречаются такие, которые не могут быть решены путем применения только законов механики, а требуют применения также законов, лежащих в основе других разделов физики, в частности электродинамики.
В современной механике используются весьма сложные и разнообразные
математические методы и понятия: дифференциальные уравнения, фазовые потоки,
гладкие отображения и многообразия.
Физические основы механики.
Механика — часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение.
Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей.
Различают классическую механику, когда скорость макроскопических тел существенно меньше скорости света. Классическая механика основана на законах Ньютона, поэтому его часто называют ньютоновской механикой. Движения тел со скоростями близкими к скорости света изучается в релятивистской механике, а закономерности движения микрочастиц в квантовой механике.
Классическая механика состоит из трех основных разделов – статики, кинематики и динамики. 
Статика – изучает законы сложения сил и условия равновесия тел. 
Кинематика (движение) – дает математическое описание движения тел без учета причин, вызывающих это движение. 
Динамика – изучает движение тел с учетом действующих на них сил.
Представления о пространстве и времени.
Все, что существует во Вселенной, живое и неживое,
имеет пространственно-временное измерение.
Пространство и время неотделимы от материи,
неразрывно связаны с ее движением и друг с другом,
количественно и качественно бесконечны.
Таким образом, материя, пространство, время,
движение являются основными понятиями науки.
Классические представления о пространстве, времени и движении.
К концу XIX века физическая наука, казалось, достигла предела: огромное количество явлений и процессов смогла она объяснить на основе законов механики, термодинамики и макроскопической электродинамики. Только две «маленькие тучки», по выражению знаменитого английского физика Джеймса Томсона, «стояли на горизонте», не укладываясь в рамки указанных выше разделов физики.
Это были: 1) трудности, возникшие при изучении законов, которым подчиняется излучение нагретых тел;
2) проблема электромагнитного (светоносного) эфира.
В конце XIX и в начале XX вв. при разрешении этих проблем были созданы квантовая физика и специальная теория относительности.
Выясним, в чем состояли трудности классической физики при рассмотрении проблемы электромагнитного эфира?
Все окружающие нас предметы находятся, и все процессы, происходящие с ними или в них, протекают в пространстве и во времени. Наиболее полно эти понятия определяет философия, согласно которой пространство и время — это формы существования материи, атрибуты ее движения. Все тела имеют объем, размеры. Они, так или иначе, расположены относительно друг друга. Это и означает, что материальные тела существуют в пространстве. Всякий процесс имеет длительность, одно явление происходит раньше другого. Это и означает, что материя существует во времени. Нет тел, которые не были бы протяженны, не имели бы размеров. Нет процессов, которые бы не длились в течение какого-либо, пусть очень малого, но конечного промежутка времени. Это означает, что материя не может существовать вне пространства и времени.
С другой стороны, пространство и время не есть нечто самостоятельно существующие, независимо наряду с материальными объектами. Они неотделимы от материальных объектов и явлений. Несмотря на очевидность и реальность пространства и времени, — это очень сложные понятия, и осмысление их содержания на всем протяжении развития науки сталкивалось с определенными трудностями.
Еще в древности люди задумывались о размере Вселенной, о конечности ее существования во времени. Их представления о пространстве и времени складывались из личного, весьма ограниченного опыта. Так, небо в понимании древних представлялось в виде полусферы, на которой закреплены небесные светила. Земля представлялась плоской, покоящейся на спинах трех китов (или слонов), которые, в свою очередь, стояли на гигантской черепахе, плавающей в безбрежном «море-океане». Человек видел перед собою линию горизонта и считал, что до нее можно дойти.
Не умея объяснить, каким образом возникла Земля и они сами, люди пришли к мысли о существовании сверхъестественной силы — Бога. А так как все вокруг имело не только начало, но рано или поздно прекращало свое существование, то делался вывод, что сотворенный Богом мир когда-нибудь прекратит свое существование. Так возникло представление о конечности Бытия.
Первые научные представления о пространстве и времени были сформулированы великим английским физиком И. Ньютоном в его книге «Математические начала натуральной философии» (1687 г.): пространство и время существуют объективно, однако они существуют безотносительно к тем телам, которые находятся и движутся в пространстве и во времени. Пространство у Ньютона является «вместилищем», «ящиком», и движение в этом пространстве носит абсолютный характер, т. е. положение тела можно определить однозначно, однозначно определяется движение тела относительно стенок «ящика» — абсолютного пространства.
Время по Ньютону — это лишь простая длительность событий, оно течет «безотносительно к чему бы то ни было». Поэтому это время называется абсолютным. Но абсолютное пространство и абсолютное время недоступны человеческому восприятию, — так утверждал Ньютон. В обыденной жизни мы обнаруживаем лишь относительное пространство и относительное время. Мы можем лишь определить объем, занимаемый телом, его расположение по отношению к другим телам. Промежутки времени, измеряемые при помощи часов (периодически действующих механизмов, сооруженных человеком или природой: песочные или водяные часы в древности, дневной или годовой цикл движения Земли и т. д.) дают нам лишь отрезок абсолютного времени. Именно поэтому Ньютон назвал эти обыденные проявления пространства и времени — относительными.
Признавая объективное существование пространства и времени, Ньютон исходит из материалистических представлений; отрывая же их друг от друга и от материальных тел, Ньютон отходит от этих позиций и, в конечном счете, приходит к божественному происхождению мира. Такие представления о пространстве и времени были общепризнанными в течение более 200 лет и всецело поддерживались религией. Только с возникновением специальной теории относительности (СТО) изменились научные представления о свойствах пространства, времени и движения.
При изучении физических процессов необходимы приборы, метризованная система координат и синхронизованный набор часов. Все это в совокупности называется системой отсчета (СО). Первоначально в это понятие включали следующие элементы:
1) тело отсчета; 2) систему координат, начало которой совмещено с телом отсчета; 3) масштабы; 4) часы. В современной физике понятие «СО» расширилось до представления о физической лаборатории, включающей все необходимые условия и приборы для наблюдения и изучения физических явлений. Различают так называемые инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Характерным признаком инерциальных систем отсчета (ИСО) является то, что в них справедливы классические законы механики — законы Ньютона (соответственно в неинерциальных системах отсчета (НИСО) эти законы не выполняются). Все ИСО (а их бесчисленное множество) могут двигаться относительно друг друга равномерно и прямолинейно, и согласно классическому принципу относительности — принципу относительности Галилея — все ИСО равноправны. Это означает, что при рассмотрении какого-либо явления можно использовать любую ИСО, все они эквивалентны. Равноправие ИСО дает определенный выбор СО, в которой целесообразно (для более простого математического описания и для более ясного физического понимания) рассматривать какую-либо задачу. Но именно из-за равноправия этих ИСО получаемые в них результаты будут объективны, реальны, хотя количественно могут иметь разные значения. Например, движение пассажира в поезде можно описать как в ИСО «Поезд», так и в любой другой ИСО, например «Земля», относительно которой ИСО «Поезд» движется прямолинейно и равномерно. Естественно, что скорости движения пассажира в этих ИСО разные, но обе они «настоящие», обе реальные.
Чтобы определить местоположение материального объекта в пространстве, необходимо в ИСО приписать каждой точке определенное числовое значение — координату. Для этого необходимо «метризовать» пространство, т. е., используя масштабную линейку, определить местоположение этой точки относительно начала координат. По классическим представлениям свойства масштаба не изменяются от его переноса. Поэтому все ИСО можно метризовать, пользуясь одним и тем же масштабом, перенося его из одной ИСО в другую. Предполагается также, что масштабы не деформируются в процессе переноса, т. е. являются абсолютно твердыми. Это предположение тотчас же приводит нас к утверждению, что существует возможность мгновенно передать сигнал (информацию) вдоль масштаба, ударив, например, по его торцу и мгновенно получив сдвиг другого конца. Такое предположение лежит в основе так называемого принципа дальнодействия — принципа классической физики, утверждающего, что существует сигнал, распространяющийся с бесконечно большой скоростью. Считается, что свойства материала стержня и окружающей среды совершенно не влияют на величину этой скорости.
В каждой ИСО должны быть часы, ход которых, естественно, одинаков. Но чтобы отрегулировать ход часов и установить одинаковое положение стрелок в один и тот же момент времени, можно поступить двумя, по классическим представлениям, одинаковыми способами: 1) свести часы в одно место (например, сделать это на часовом заводе), синхронизировать их ход и развести по рабочим местам (считается, что передвижение часов не влияет на их ход); 2) так как в принципе существует бесконечно быстрый сигнал, то из «центра» (например, из начала координат СО) можно послать условный сигнал и на всех часах одновременно будут установлены одинаковые положения стрелок (практически все мы так и поступаем, сверяя ход своих часов по сигналу, который посылается радиостанцией, как бы далеко она не была расположена).
Современные представления о пространстве, времени.
В современной науке пространству и времени приписываются определенные характеристики. Общими и для пространства, и для времени являются свойства объективности и всеобщности. Пространство и время объективны, так как существуют независимо от сознания. Всеобщность означает, что эти формы присущи всем без исключения воплощениям материи на любом уровне ее существования.
У пространства и времени есть ряд специфических характеристик. Так, пространству приписываются протяженность, изотропность, однородность, трехмерность. Протяженность предполагает наличие у каждого материального объекта определенного местоположения. Изотропность – равномерность всех возможных направлений, т.е. инвариантность физических законов относительно выбора направлений осей координат системы отсчета. Однородность пространства характеризует отсутствие в нем каких-либо выделенных точек, т.е. при переносе в пространстве свойства системы не меняются. Свойства изотропности и однородности пространства являются следствием его симметричности, т.е. независимости от изменения физических условий. Трехмерность описывает тот факт, что положение любого объекта в пространстве может быть определено с помощью трех независимых величин.
Понятие многомерного пространства существует пока только как математическое, а не как физическое. Основания трехмерности наблюдаемого пространства ищутся в структуре некоторых фундаментальных процессов, например, в строении электромагнитной волны и фундаментальных частиц. Один из российских исследователей этой проблемы, Л. М. Гиндилис, утверждает, что мы можем изучать n-мерные миры лишь мысленно, но для нас закрыты возможности для их экспериментального изучения. Так, математический анализ показывает, что при n > 4 не могут существовать замкнутые устойчивые орбиты движения тел. Это в свою очередь означает, что планеты должны либо падать на центральное тело в планетной системе, либо уходить в бесконечность, т.е. в многомерных мирах невозможно существование аналогов планетных систем и атомов. Следовательно, невозможна жизнь. Таким образом, единственное значение параметра и, которое совместимо с существованием жизни во Вселенной, равно именно этот мир мы и наблюдаем.
Времени приписываются свойства: длительности, необратимости, однородности и одномерности. Длительность времени интерпретируется как продолжительность существования любого материального объекта или процесса. Одномерность времени означает, что положение объекта во времени описывается единственной величиной. Однородность, как и в случае с пространством, свидетельствует об отсутствии каких-либо выделенных фрагментов, т.е. утверждает инвариантность физических законов относительно выбора точки отсчета времени. Необратимость, его однонаправленность от прошлого к будущему, скорее всего, связана с необратимостью протекания некоторых фундаментальных процессов и характером законов в квантовой механике. Существует также причинная концепция обоснования необратимости времени, согласно которой если бы время было обратимо, то причинная связь оказалась бы невозможной.
Идею о едином пространственно-временном континууме в конце XIX веке предложил немецкий математик и физик Г.Минковский, поэтому четырехмерный пространственно-временной континуум называют миром.
Основы кинематики.
Кинематикой называется раздел механики, в котором рассматривается движение тел, безотносительно к причинам, вызывающим это движение.
Поступательное движение.
Для построения кинематики поступательного движения необходимо ввести ряд основных понятий.
Материальной точкой называется тело, размерами которого можно пренебречь. Вопрос о том, является ли данное тело материальной точкой зависит не от размеров тела, а от условий задачи. При описании движения планет вокруг Солнца Земля рассматривается как материальная точка. Размеры Земли практически не влияют на характер движения Земли. Но для описания чередования времен года, дня и ночи необходимо учитывать не только сферическую форму Земли, но и тот факт, что она вращается вокруг своей оси.
y
x
x
y
z
r
z
При поступательном движении тела все точки тела движутся одинаково, и, вместо того чтобы рассматривать движение каждой точки тела, можно рассматривать движение только одной его точки.
Основные характеристики движения материальной точки:
– траектория движения,
– перемещение точки,
– пройденный ею путь,
– координаты,
– скорость и ускорение.
Системой отсчета называется система
координат и часы, связанные с этой системой.
Для описания механического движения обычно вводят систему координат,
представляющую три взаимно перпендикулярных
оси с указанным на них масштабом.
а) Траектория.
left1213485 Для описания пространственного движения тела используется понятие траектории. Траекторией называется линия движения материальной точки. Для описания траектории можно задать одно векторное уравнение r=r(t) или три скалярных:
x = x (t)
y = y (t)
z = z (t)
Эти уравнения определяют координаты точки в любой момент времени t и называются уравнениями движения материальной точки.
б) Путь и перемещение.
Путь — это длина участка траектории, пройденного точкой за определенный интервал времени. Путь — величина скалярная, т.е. не зависящая от выбора системы координат. Путь не может быть отрицательным и не может убывать со временем.
right51435 Перемещением материальной точки за некоторый промежуток времени называется вектор перемещения ∆r=r-r0, направленный от положения точки в начальный момент времени к ее положению в конечный момент.
Существует большая разница между путём и перемещением. Путь может быть и по прямой и по извилистой линии, может быть и круговым. Допустим, во всех этих случаях длина пути одинаковая. Очевидно, что расстояние между началом и концом пути будет разным. То есть тело может преодолеть путь длиной 30 км и при этом не переместиться от начальной точки всего на 3 км, на 20 м или вообще не переместиться ( если тело двигалось по кругу, то оно, пройдя круг, вернулось к исходной точке).
Отметим, что, если движение не является прямолинейным, то длина пройденного пути больше длины модуля перемещения‼!
в) Скорость.
Равномерным прямолинейным движением называется такое прямолинейное движение, при котором материальная точка (тело) движется по прямой и в любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.
Скорость материальной точки представляет собой вектор, характеризующий направление и быстроту перемещения материальной точки относительно тела отсчета. 
Скорость является векторной величиной, то есть она характеризуется не только модулем
( скалярной составляющей), но и направлением в пространстве.
Единица скорости – метр, деленный на секунду (м/с).
41776655823585При прямолинейном движении скорость постоянна и по модулю, и по направлению, а её вектор совпадает с траекторией.
Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории и в момент времени t ей соответствует радиус-вектор r0. В течение малого интервала времени Δt точка пройдет путь Δs и получит бесконечно малое перемещение Δr. Различают среднюю и мгновенную скорости. Вектор vср. направлен так же, как Δr. При неограниченном уменьшении Δt средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной.
Что же понимают под мгновенной скоростью?
Пусть точка, двигаясь неравномерно и по кривой линии, в некоторый момент времени t занимает положение М (рис.). По прошествии времени Δt1 от этого момента точка займёт положение М1, совершив перемещение Δr1. Поделив вектор Δr1 на промежуток времени
Δt1, найдём такую скорость равномерного прямолинейного движения, с которой должна была двигаться точка, чтобы за время Δt попасть из положения М в положение М1. Эту скорость называют средней скоростью перемещения точки за время Δt1.
vср1. = Δr1 /Δt1
Для того, чтобы определить скорость в данный момент времени, когда точка занимает положение М, найдём средние скорости за всё меньшие и меньшие промежутки времени
vср2. = Δr2 /Δt2 vср3. = Δr3/Δt3
При уменьшении промежутка времени перемещения точки уменьшаются по модулю и меняются по направлению. Соответственно этому средние скорости так же меняются как по модулю, так и по направлению. Но по мере приближения промежутка времени Δt к нулю средние скорости всё меньше и меньше будут отличаться друг от друга. А, это означает, что при стремлении промежутка времени Δt к нулю, отношение Δr1 /Δt1 стремится к определённому вектору как своему предельному значению. В механике такую величину называют скоростью точки в данный момент времени или просто мгновенной скоростью.
Мгновенная скорость точки есть величина, равная пределу отношения перемещения к промежутку времени, в течении которого это перемещение произошло, при стремлении
промежутка времени к нулю.
v = limt→0∆r∆t = ∂r∂t

Таким образом, скорость – это векторная величина, равная первой производной радиуса -вектора, движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения. По мере уменьшения Δt длина ∆s дуги все более приближается к длине стягивающей ее хорды, т.е. численное значение скорости материальной точки равно первой производной длины ее пути по времени:

v = limt→0∆r∆t = limt→0∆s∆t = ∂s∂t
Таким образом, v= ∂s∂t
Из этого выражения получаем ds = vdt. Интегрируя по времени от t до t+Δt, найдем длину пути, пройденного материальной точкой за время Δt:
S =tt+∆tv∂t
Если направление вектора мгновенной скорости v во время движения материальной точки не изменяется, это означает, что точка движется по траектории, касательные к которой во всех точках имеют одно и то же направление. Таким свойством обладают только прямолинейные траектории. Значит, рассматриваемое движение будет прямолинейным. Если направление вектора скорости v материальной точки изменяется с течением времени, точка будет описывать криволинейную траекторию. Если численное значение мгновенной скорости точки остается во время движения постоянным, то такое движение называется равномерным. Это означает, что за произвольные равные промежутки времени Δt материальная точка проходит пути равной длины. Если за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее скорости с течением времени изменяется. Такое движение называется неравномерным. В этом случае пользуются скалярной величиной, называемой средней скоростью неравномерного движения на данном участке Δs траектории. Она равна численному значению скорости такого равномерного движения, при котором на прохождение пути Δs затрачивается то же время Δt, что и при заданном неравномерном движении:
v = Δs/ Δt
Если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то по закону независимости движений ее результирующее перемещение равно векторной сумме перемещений, совершаемых ею за то же время в каждом из движений в отдельности. Поэтому скорость результирующего движения находится как векторная сумма скоростей всех тех движений, в которых материальная точка участвует
819153832860Например, рассмотрим задачу.
На рисунке представлены графики зависимости координаты двух тел от времени. Графики каких зависимостей показаны? Какой вид имеют графики зависимости скорости и пути пройденного телом, от времени?
Решение.
819156290310На рисунке показаны графики равномерного движения тел.1) В начальный момент времени t = 0 первое тело имеет начальную координату хо1 = 1 м, второе тело — координату хо2 = 0. 2) Оба тела движутся в направлении оси Х, так как координата возрастает с течением времени.3) Уравнение движения для равномерного прямолинейного движения имеет вид: x =xо+vхt.Тогда для первого, второго тела соответственно:x1=xо1+v1хt и x2=xо2+v2хtили x1=1+v1хt, x2=v2хt.Определим скорости первого и второго тела:
v1x = x1 − 1 = 2 − 1 = 0,5 м/с.
t
2
v2x = x2 = 1 = 0,5 м/с.
t
2
Уравнения скорости имеют вид: v1х=v2х=0,5 м/с.Так как S = vхt, то уравнение пути S=0,5t.
г) Ускорение.
В общем случае движение точки с изменяющейся во времени скоростью называют ускоренным, при этом считая ускорение, вызывающее уменьшение скорости, отрицательным. Иногда движение, в котором скорость с течением времени уменьшается, называют замедленным.
Ускорение есть кинематическая мера изменения скорости точки во времени. 
Другими словами – ускорение – это скорость изменения скорости. Как и скорость, ускорение является величиной векторной, т. е. характеризуется не только модулем, но и направлением в пространстве.
При прямолинейном движении вектор скорости всегда совпадает с траекторией и поэтому вектор изменения скорости тоже совпадает с траекторией.
Из курса физики известно, что ускорение представляет собой изменение скорости в единицу времени. Если за небольшой промежуток времени Δt скорость точки изменилась на Δv, то среднее ускорение за данный промежуток времени составило: аср = Δv/Δt.
Среднее ускорение не дает представление об истинной величине изменения скорости в каждый момент времени. При этом очевидно, что чем меньше рассматриваемый промежуток времени, во время которого произошло изменение скорости, тем ближе значение ускорения будет к истинному (мгновенному). Отсюда определение: истинное (мгновенное) ускорение есть предел, к которому стремится среднее ускорение при Δt, стремящемся к нулю:
а = lim аср при t→0 или lim Δv/Δt = dv/dt.
Учитывая, что v = ds/dt, получим: а = dv/dt = d2s/dt2.
Истинное ускорение в прямолинейном движении равно первой производной скорости или второй производной координаты (расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.
Единица ускорения – метр, деленный на секунду в квадрате (м/с2).
– Ускорение точки в криволинейном движении
При движении точки по криволинейной траектории скорость меняет свое направление, т. е вектор скорости является переменной величиной.
Представим себе точку М, которая за время Δt, двигаясь по криволинейной траектории, переместилась в положение М1 (рисунок).
Вектор приращения (изменения) скорости обозначим Δv, тогда: Δv = v1 – v.
Для нахождения вектора Δv перенесем векторv1 в точку М и построим треугольник скоростей. Определим вектор среднего ускорения:
аср = Δv/Δt.
left6842760Вектор аср параллелен вектору Δv, так как от деления векторной величины на скалярную направление вектора не меняется. Вектор истинного ускорения есть предел, к которому стремится отношение вектора приращения скорости к соответствующему промежутку времени, когда последний стремится к нулю:
а = lim Δv/Δt при t→0.
Рис.
Такой предел называют векторной производной. Таким образом, истинное ускорение точки в криволинейном движении равно векторной производной скорости по времени.
Из рисунка видно, что вектор ускорения в криволинейном движении всегда направлен в сторону вогнутости траектории.
Вектор ускорения характеризует быстроту и направление изменения скорости материальной точки относительно тела отсчета. 
Теоремы о проекциях скорости и ускорения на координатную ось
Если движение точки задано координатным способом, то путь (перемещение), скорость и ускорение за промежуток времени Δt можно найти, используя проекции этих величин на координатную ось. Очевидно, что приращение любой из координат при Δt стремящемся к нулю тоже стремится к нулю, и предел такого приращения может быть определен из дифференциальных отношений, устанавливаемых теоремами о проекциях скорости и ускорения:
Теорема: проекция скорости на координатную ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени:
vпx = dx/Δt vпy = dy/Δt vпz = dz/Δt.
Теорема: проекция ускорения на координатную ось равна второй производной от соответствующей координаты по времени:
ax = d2x/Δt2 ay = d2y/Δt2 az = d2z/Δt2.
Зная проекции скорости или ускорения на координатные оси, можно определить модуль и направление вектора любой из этих величин, используя теорему Пифагора и тригонометрические соотношения.
Например, рассмотрим задачу.
Тело, двигаясь прямолинейно с постоянным ускорением, прошло последовательно два равных участка пути, по 20 м каждый. Первый участок пройден за 1.06 с, а второй — за 2.2 с. Определить ускорение тела, скорость в начале первого и в конце второго участков пути, путь, пройденный телом от начала движения до остановки. Начертить графики зависимости пройденного пути, скорости и ускорения от времени.
Решение.
Анализ условия задачи: так как второй участок (равный первому) пройден за большее время, то тело движется равнозамедленно.
Чтобы определить ускорение тела a, его скорость в начале первого vo и в конце второго участков пути v, запишем уравнение пути для первого участка:
S = vot1 − at12 .
2 
Методом укрупнения запишем уравнение пути для двух участков:
2S = vo(t1 + t2) − a(t1 + t2)2 .
2 
После решения этих уравнений относительно искомых vo и a, получим: vo = 22 м/с, a = −6 м/с2.
Для определения скорости в конце второго участка v запишем уравнение скорости:
v = vo − at.
Здесь время t — это 1.06 + 2.2 = 3.26 c. Проведя вычисления, получим v = 2.44 м/с.
Для определения общего пути Sобщ до остановки воспользуемся формулой:
Sобщ = vкон2 − vo2 = −vo2 = vo2 .
−2a
−2a
2a 
Здесь конечная скорость vкон = 0, поскольку тело в конце пути остановилось. Ускорение и начальную скорость мы определили чуть выше.
Получим Sобщ = 40.33 м.
Уравнение пути: S = 22t − 3t2,
скорости: v = 22 − 6t,
ускорения: a = −6 м/с2.
Ответ: vo = 22 м/с, a = −6 м/с2, Sобщ = 40.33 м.
Вращательное движение.
О
φ
Вращательное движение – это такое движение твердого тела, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же оси вращения .
Рассмотрим вращательное движение тела вокруг некоторой оси. При этом все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на этой оси. В качестве основной характеристики вращательного движения рассмотрим угол поворота φ между начальным и конечным положениями радиус-векторов. При этом угол считается положительным, если движение совершается против часовой стрелки и отрицательным, если – по часовой. При решении задач обычно угол φ измеряется в радианах (180º – π радиан, 1 рад57º).
Для описания вращательного движения можно ввести такие же характеристики, как и для поступательного.
а) Вращательное движение и величины, его характеризующие
Другим простейшим видом механического движения является вращательное движение абсолютно твердого тела. При таком движении его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат на одном прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения.
Вращательное движение тела или точки характеризуется углом поворота, угловой скоростью и угловым ускорением.
Угол поворота φ – это угол между двумя последовательными положениями радиуса вектора r, соединяющего тело или материальную точку с осью вращения. Угловое перемещение измеряется в радианах.
left0Угловая скорость ω – векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота в единицу времени и численно равная первой производной от угла поворота по времени, то есть ω = ∂φ∂t. Направление вектора угловой скорости ω совпадает с направлением вектора углового перемещения, т.е. вектора, численно равного углу φ и параллельного оси вращения; оно определяется по правилу буравчика: если совместить ось буравчика с осью вращения и поворачивать его в сторону движения вращающейся точки, то направление поступательного перемещения буравчика определит направление вектора угловой скорости. Точка приложения вектора произвольна, это может быть любая точка плоскости, в которой лежит траектория движения. Удобно совмещать этот вектор с осью вращения.
При равномерном вращении численное значение угловой скорости не меняется, то есть ω = const. Равномерное вращение характеризуется:
– периодом вращения Т, то есть временем, за которое тело делает один полный оборот, период обращения измеряется в с;
– частотой , ν = 1Т измеряемой в Гц и показывающей число оборотов в с;
– круговой (циклической, угловой) частотой ω = 2πТ (это та же самая угловая скорость).
Угловая скорость может меняться как по величине, так и по направлению. Векторная величина, характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени и численно равная второй производной от углового перемещения по времени, называется угловым ускорением: ε= lim∆t→0∆ω∆t = ∂ω∂t=∂2ω∂t2
44481755495925Если положение и радиус окружности, по которой происходит вращение не изменяется со временем, то направление векторов углового ускорения и угловой скорости совпадают, если вращение ускоренное, и противоположны, если вращение замедленное.
При равномерном движении по окружности тангенциальная составляющая ускорения равна нулю, т.е. модуль линейной скорости постоянен и определяется соотношением 
ν = 2πRТ Но так как направление скорости постоянно изменяется, то существует нормальное ускорение а = v2R .
-7239007172325
Таким образом, линейная скорость ν направлена по касательной к окружности в каждой точке по движению; ускорение перпендикулярно скорости и направлено к центру кривизны.
б) Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение.
Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости v, которые непрерывно изменяют свое направление и зависят от угловой скорости ω и расстояния r соответствующей точки до оси вращения. Точка, находящаяся на расстоянии r от оси вращения проходит путь ΔS = rΔφ. Поделим обе части равенства на Δt : 
∆S∆t=r∆φ∆t.
Переходя к пределам при ∆t→0 получим ∂S∂t=r∂φ∂t.
v = rω
Таким образом, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. По определению ускорения, а = ∂v∂t, или,
аt = ∂∂trω=∂ω∂trε = rε
247650-1095375
Теперь можно получить:
а = r ω2 видно, что значения линейной скорости, тангенциального и нормального ускорений растут по мере удаления от оси вращения. Формула устанавливает связь между модулями векторов v, r, ω, которые перпендикулярны друг к другу.
Например, рассмотрим задачу.
Экваториальный радиус Земли равен 6370 км. Определить линейную и угловую скорости движения точек экватора при вращении Земли вокруг оси.
Решение:
Линейная скорость вращения ν точек земного экватора:
ν = 2πR ,
T
а угловая скорость вращения w всех точек Земли равна:
w = 2π .
T
После вычислений будем иметь: ν = 463 м/с, w = 7,3×10−5 рад/с. 
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
left0В качестве сложного движения рассмотрим движение точечной массы, брошенной под углом aк горизонту со скоростью v0.
В этом случае точка одновременно движется равномерно со скоростью vox вдоль оси Х и равноускоренно с начальной скоростью v0y вдоль оси У.
Уравнения движения в координатной форме имеют вид:
x = v0 cos α t, y= v0 sin α t – gt2/2.
Для нахождения уравнения траектории движения необходимо из системы уравнений исключить время, получим:
y= x tg α – gx22v02cos2α
Полученное выражение представляет собой уравнение параболы. Все записанное справедливо, если отсутствует или достаточно мало сопротивление среды, в которой движется материальная точка.
Таким образом, наибольшая дальность полета в отсутствии сил сопротивления наблюдается при движении тела под углом в 45° к горизонту.
Рассмотренные простейшие виды движения твердого тела важны потому, что любое движение твердого тела сводится к ним.
1581155128260Например, рассмотрим задачу.
Тело, брошенное вертикально вниз с начальной скоростью 5 м/с, в последние 2 с падения прошло путь вдвое больший, чем в две предыдущие 2 с. Определить время падения и высоту, с которой тело было брошено. Построить график зависимости пройденного пути, ускорения и скорости от времени.
Решение:
Сделаем рисунок к задаче и введем следующие обозначения:h1 — расстояние пройденное телом в две предыдущие секунды, тогда2h1 — расстояние пройденное телом за последние две секунды,t — время падения с высоты H.
Высота падения тела H равна:
H = vot + gt2 (1),
2 
а высота h (без четырех секунд) равна:
h = vo(t − 4) + g(t − 4)2 (2).
2 
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим:
3h1 = 4vo + gt2 − g(t − 4)2 .
2
2 
То есть:
h1 = 4 vo + gt2 − g(t − 4)2 (3).
3
6
6 
Составим еще одно уравнение высоты:
h + h1 = vo(t − 2) + g(t − 2)2 (4).
2 
Вычитая из уравнения (1) уравнение высоты (4), получим в конце (формула исправлена):
h1 = vo + gt2 − g(t − 2)2 (5).
4
4 
Приравнивая правые части уравнений (3) и (5), имеем (после преобразований) t = 4,5 c, тогда высоту, с которой падало тело, можно рассчитать по формуле (1). Высота равна 123,75 м.
Для построения графиков составим уравнения пути H(t), g(t) и v(t):
H = 5t +5t2, g = 10 м/с2 = const, v = 5 + 10t.
Примечание: начало отсчета выбиралось в точке бросания тела, и ось направлялась вертикально вниз (по вектору начальной скорости и ускорения), что видно из графиков.
-19431079571852 Если камень, брошенный под углом 30° к горизонту, находился в полете 2 с, то с какой скоростью он упал на землю?
Решение:
Если камень был в полете 2 с, то в силу симметрии 1 с он летел до максимальной точки подъема и 1 с падал вниз (сопротивлением воздуха мы пренебрегаем). В максимальной точке подъема камень имеет только горизонтальную составляющую Vx скорости V. Свободно падая с максимальной высоты подъема, за 1 с камень приобретет вертикальную скорость Vy, равную:
Vy = gt
Скорость бросания равна скорости падения тела, которая связана с вертикальной составляющей в момент падения:
V = vy
= gt
sin α
sin α
Искомая скорость равна V = 20 м/с.
Ответ: камень упал на землю со скоростью 20 м/с.
в) Связь между поступательным и вращательным движением
Точка, участвующая во вращательном движении, одновременно совершает и поступательное движение. Можно установить связь между характеристиками поступательного и вращательного движений. Для линейной скорости имеем
,
где R – радиус окружности, по которой движется точка. Аналогичная связь существует между линейным и тангенциальным ускорениями
.
Для нормального ускорения справедлива формула
.
Угол поворота, угловую скорость и угловое ускорение можно задавать также в виде векторов, направление которого совпадает с направлением оси вращения.
.
Основные формулы кинематики
Линейная и угловая скорости
Линейное и угловое ускорение
Связь между длиной дуги и углом поворота
Связь между линейной и угловой скоростями
Нормальное (центростремительное) ускорение
Тангенциальное ускорение
Полное ускорение
Равноускоренное вращение
.
Принцип относительности Галилея.
Введенный Галилеем принцип относительности в первую очередь распространялся на механические системы. Он гласил, что никакие механические опыты не позволяют определить, находится ли система в состоянии покоя или прямолинейно и равномерно движется. Другими словами, при выполнении в различных инерциальных системах координат (с действующими силами инерции) одинаковых механических опытов, результаты будут аналогичными.
Галилей подметил, что механика движений, а точнее столкновений, ударов, полета снарядов и других явлений дает одни и те же результаты: как в равномерно и прямолинейно движущихся лабораториях, так и в находящихся в покое.
Пояснить данный механический принцип относительности можно на следующем примере. Допустим, что один автомобиль проезжает возле другого без всяких толчков, то есть с постоянной скоростью, равномерно. А все вокруг окутано таким густым плотным туманом, что рядом совсем ничего не видно. Вопрос звучит таким образом: могут ли находящиеся в автомобилях пассажиры определить, который из них движется? Можно ли им помочь, производя эксперименты по механике?
Оказывается, что в данном случае пассажиры могут наблюдать лишь относительное движение. Несмотря на то, что все законы движения и правила сложения векторов разработаны с помощью движущихся лабораторий, они не обнаруживают, «не чувствуют» на себе никакого влияния данного движения. Принцип относительности также указывает на то, что никакие механические опыты не позволят обнаружить прямолинейного равномерного движения системы отсчета относительно звезд и Солнца. Однако при ускоренном движении системы отсчета относительно звезд и Солнца оказывается влияние на результаты опытов.
Галилеевый принцип относительности в механике заслуживает особого внимания. Ни одной из галилеевых систем нельзя отдать предпочтения в принципе, несмотря на то, что с практической точки целесообразно считать ту или иную систему отсчета предпочтительной в зависимости от ситуации.
Так, для едущего в автомобиле пассажира система координат, которая связана с машиной, будет являться системой отсчета более естественной, чем та, которая связана с дорогой. А последняя система, в свою очередь, станет более удобной для человека, наблюдающего за движением автомобиля, стоя возле дороги. Различные галилеевые системы имеют принципиальную равноценность, которая выражена в том, что для перехода между системами существуют одинаковые формулы, а переменной величиной выступает лишь значение относительной скорости.
Данный принцип относительности рассматривается с точки зрения кинематики, однако подобная равноценность различных систем характерна и для динамики. Это и является классическим принципом относительности.
Существует также и специальный принцип, который распространяется на любые физические явления, а не только на механические движения. Сущность его заключается в том, что для любых систем координат, которые движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, любые физические явления протекают одинаково, а любые физические опыты дают аналогичный результат.
Данное положение определяют как специальный принцип относительности, поскольку оно относится к специальным случаям прямолинейного равномерного движения. В подобном случае все законы выглядят одинаково как для систем координат, относящихся к звездам, так и для любых других систем, которые движутся равномерно и прямолинейно относительно звезд.
Существует также и более общий принцип, который охватывает случаи систем координат с ускоренным движением. Он носит название общий принцип относительности.
Преобразования Галилея
Преобразования Галилея – наиболее простой и естественный переход из одной системы отсчета в другую. Это уравнения, связывающие координаты и время некоторого события в двух инерциальных системах отсчета.
Введение этого понятия в физике необходимо, так как с помощью преобразований Галилея мы можем рассматривать одно и то же событие в разных системах отсчета.
Если сравнивать программы изучения преобразований Галилея в курсе общей физики и в элементарной школе, то можем сделать вывод о том, что некоторые понятия впервые упоминаются лишь в курсе общей физики, в связи со сложностью их восприятия.
Для начала рассмотрим объяснение преобразований Галилея в учебнике для элементарной школы.
Вначале вводится понятие тела отсчета. За тело отсчета можно выбрать любое тело. Тогда положение одного и того же тела можно рассматривать относительно разных систем отсчета. Чтобы в этом убедиться, приводится пример. Положение автомобиля на дороге (рис.) можно задать, указав, что он находится на расстоянии l1 к северу от населенного пункта 1. рис.
Но можно сказать, что автомобиль расположен на расстоянии l2 к востоку от населенного пункта 2. Это и значит, что положение тела относительно: оно различно относительно разных систем координат.
Также относительным может быть не только положение тела, но и его движение. Чтобы в этом убедиться, рассматриваются примеры относительности движения. Одним из них является такой пример. Каждому, наверное, приходилось наблюдать, как иногда трудно, находясь в вагоне поезда и глядя в окно на проходящий мимо по соседнему пути поезд, выяснить, какой из поездов движется, а какой покоится. Строго говоря, если видеть только соседний вагон и не видеть земли, строений, облаков и т. д., то узнать, какой из поездов движется прямолинейно и равномерно, а какой покоится, невозможно. Если пассажир одного из поездов утверждает, что движется «его» поезд, то пассажир другого поезда с таким же правом может сказать, что движется «его» поезд, а соседний неподвижен. Правы оба пассажира – движение и покой относительны.
Выяснив понятия тела отсчета, относительности тела отсчета и движения в параграфе вводится пункт об одном и том же движении с разных точек зрения. В нем рассматривается движение одного и того же тела относительно двух разных систем отсчета, движущихся одна относительно другой прямолинейно и равномерно. Одну из них условно считают неподвижной. Другая движется относительно нее прямолинейно и равномерно. Приводится простой пример. Лодка пересекает реку перпендикулярно течению, двигаясь с некоторой скоростью относительно воды. Вода в реке движется относительно берега со скоростью течения реки.
За движением лодки следят два наблюдателя: один неподвижный, расположился на берегу в точке (рис. ), другой – на плоту, плывущем по течению (со скоростью течения реки). Оба наблюдателя измеряют перемещение лодки и время, затраченное на него. Относительно воды плот неподвижен, а по отношению к берегу он движется со скоростью течения реки.
Мысленно проводится через точку O систему координат XOY. Ось X направляется вдоль берега, ось Y – перпендикулярно течению реки. Это неподвижная система рис. отсчета. Другую систему координат X’O’Y’ связывают с плотом. Оси X’ и Y’параллельны осям X и Y. Это – подвижная система координат.
Как движется лодка относительно этих двух систем?
Наблюдатель на плоту, двигаясь вместе со «своей» системой координат по течению, видит, что лодка удаляется от него к противоположному берегу все время перпендикулярно течению. Он видит это и в точке А, и в точке В, и в любой другой точке. А когда через некоторое время плот окажется в точке С, лодка достигнет противоположного берега в точке С’. Относительно подвижной системы координат (плота) лодка совершила перемещение S1=CC’ . Разделив его на t, подвижный наблюдатель получит скорость лодки v1 относительно плота:
.
Совсем другим представится движение лодки неподвижному наблюдателю на берегу. Относительно «его» системы координат лодка за то же время t совершила перемещение S1=OC’ . За это же время подвижная система отсчета вместе с плотом совершила перемещение S2 (лодку, как говорят, «отнесло» вниз по течению). Схематически перемещения лодки показаны на рисунке.
Далее вводятся формула сложения перемещений
и формула сложения скоростей
,
а так же, чему равна скорость тела относительно неподвижной системы координат.
Мы видим, что и перемещение и скорость тела относительно разных систем отсчета различны. Различны и траектория движения ( CC’– относительно подвижной системы и OC’ – относительно неподвижной). В этом и состоит относительность движения.
Далее мы переходим к рассмотрению преобразований Галилея в курсе общей физики.
С объяснения этого понятия начинается изучение принципа относительности Галилея. Сопоставляются описания движения частицы в инерциальных системах отсчета К и К’ , движущихся друг относительно друга со скоростью v (рис. ).
Рис. 
Для простоты выбираются оси координат так, как показано на рисунке. Отсчет времени начинается с того момента, когда начала координат О и О’ совпадали. Тогда координаты x и x’ произвольно выбранной точки будут связаны соотношением x = x’+v t. При сделанном выборе осей y =y’ и z = z’ . В ньютоновской механике предполагается, что время во всех системах отсчета течет одинаково; поэтому t и t’. Таким образом, получается совокупность четырех уравнений: x = x’+v t y =y’ z = z’ t = t’
называемых преобразованиями Галилея. Эти уравнения позволяют перейти от координат и времени одной инерциальной системы отсчета к координатам и времени другой инерциальной системы.
Далее рассматриваются инерциальные системы отсчета и первый закон Ньютона.
Законы механики одинаково выглядят во всех инерциальных системах отсчета.
Затем необходимо познакомиться с классическим законом сложения скоростей. Мы знаем, что компоненты скорости v частицы в системе К определяются выражениями
, , .
В системе К’ компоненты скорости v’ той же частицы равны
, , .
В ходе некоторых вычислений формулы преобразования скоростей при переходе от системы К’ к системе К.
, , .
Далее рассматривается инвариантность длины, интервала времени, ускорения, а также абсолютный характер понятия одновременности.
.
Заключение

Кинематика сложна для восприятия. Причина понятна: обилие математики (алгебра, геометрия, тригонометрия в полном объеме). Упрощение же математического аппарата выхолащивает суть кинематики – классификацию движений и описание моделей.

Кроме всех очень важных понятий в кинематике учащиеся также знакомятся с не менее важной для всего курса физики идеей – идеей относительности движения, изучение которой должно быть доведено до понимания : относительности координат, траекторий, перемещений и скоростей.
От идеи относительности движения в классической механике в дальнейшем своем развитии подходят к пониманию основ специальной теории относительности.
При изучении кинематики уже имеется возможность обратить внимание на заслуги Галилея в создании научного метода познания. Наиболее важным открытием его были уравнения, связывающие координаты и время некоторого события в двух инерциальных системах отсчета. В дальнейшем они были названы преобразованиями Галилея.
Список использованной литературы и источников
Н. Н. Евграфова, В. Л. Каган, Курс физики, М. Высшая школа, 1984, 487 стр.
Е. М. Гершензон, Н. Н. Малов, Курс общей физики. Механика, М. Просвещение, 1987, 304 стр.
Трофимова Т.И. Курс физики, М.: Высшая школа, 1998, 478 с.
Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики, М.: Высшая школа, 1996, 304с
Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики, СПб.: «Специальная литература», 1999, 328 с