Da metrikani quyidagicha ham kiritish mumkin :. Bu metric fazo

7) C[a;b] da metrikani quyidagicha ham kiritish mumkin :
. Bu metric fazo C₁[a;b] orqali belgilanadi.
8) [a;b] kesmada kvadrati bilan integrallanuvchi uzluksiz funksiyalar to'plamida funksiya metrika aksiomalarini qanoatlantiradi
[2]. Bu metric fazo C₂[a;b] orqali belgilanadi.
Bo’sh bo’lmagan ixtiyoriy to’plamda metrika kiritish mumkinmi degan savolga quyidagi misol ijobiy javob beradi.
9) X-bo’sh bo’lmagan ixtiyoriy to’plam bo’lsin. uchun

Shart bilan funksiya aniqlaymiz. Bu funksiya metric aksiomalarini qanoatlantiradi.
Bunday aniqlangan metrik fazo trivial metrik fazo, metrika esa, trivial
metrika deyiladi.
Operatorlar va funksionallar haqida tushuncha
Aytaylik X haqiqiy chiziqli fazo bo‘lsin. Xuddi metrik fazolardagi kabi X
ning har bir elementiga haqiqiy sonni mos qo‘yuvchi f: akslantirishni
funksional deb ataymiz.
1–ta’rif. Agar ffunksional ixtiyoriy x, y∈ X elementlar va λ son uchun
1. f(x+y)=f(x)+f(y);
2. f(λx)=λf(x)
shartlarni qanoatlantirsa, u holda f chiziqli funksional deyiladi.
Bu ikki shartni birlashtirib, ixtiyoriy x, y∈ X elementlar va α, β sonlar uchun f(αx+βy)=αf(x)+βf(y) shart bajarilsa, u holda f ni chiziqli funksional deyiladi, deyish ham mumkin.
Izoh. Yuqoridagi birinchi tenglik funktsionalning additivlik xossasi, ikkinchi tenglik esa bir jinslilik xossasi deyiladi.
Chiziqli funksional uzluksizligi. Normalangan fazolardagi chiziqli
funksionallar.
Chiziqli funksionalning uzluksizligi, xuddi metrik fazolardagi kabi aniqlanadi. Shu sababli, chiziqli funksional berilgan chiziqli fazoda yaqinlashish tushunchasi kiritilgan bo‘lishi lozim.
Aytaylik E normalangan fazo va f undagi chiziqli funksional bo‘lsin.
2-ta’rif. Agar E ning x0 nuqtasiga yaqinlashuvchi ixtiyoriy {xn} ketma-ketlik uchun f(xn)→f(x0) munosabat bajarilsa, u holda f chiziqli funksional x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
Bu ta’rifni normalangan fazo tushunchalari yordamida, quyidagicha aytish
mumkin:
3-ta’rif. Agar ixtiyoriy kichik ε>0 son uchun, shunday δ>0 kichik son topilib, ||x||<δ ekanligidan |f(x)|<ε munosabat kelib chiqsa, u holda f chiziqli funksional nol nuqtada uzluksiz deyiladi.
1-teorema. Agar f chiziqli funksional nol nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda f funksional E ning ixtiyoriy nuqtasida uzluksiz bo‘ladi.
Aytaylik X va Y haqiqiy sonlar maydoni ustida berilgan chiziqli fazolar, hamda ular orasida T :X →Y akslantirish berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar har qanday x,y∈ X va α, β∈ uchun

munosabat o‘rinli bo‘lsa, T chiziqli akslantirish yoki chiziqli operator deyiladi.
Misollar. 1) va (mX ning har bir x= (x₁ , x₂ , . . ., x_n ) elementiga Tx = (y₁ , y₂ ,. . ., y_m ) elementni mos qo‘ysin. T ning chiziqli operator ekanligini tekshirish qiyin emas.
Umuman T chiziqli akslantirish fazoni fazoga o‘tqazsa u m×n o‘lchamli matritsadan iborat ekanligi chiziqli algebra kursidan ma’lum.