Da to’g’ri

2-Misol. va tenglamalar bilan berilgan tekisliklarning o‟zaro perpendikulyar ekanligini isbotlang.
►Bu tekisliklar mos ravishda ⃗ * +va ⃗ * +normal vektorlarga ega. Berilgan tekisliklar perpendikulyar bo‟lishi uchun ⃗ ⃗ bo‟lishi zarur va yetarli. U holda ⃗ ⃗ ( ) ( ) bo‟lganligi uchun tekisliklar perpendikulyar.◄
Fazoda to‘g‘ri chiziqlarning o‘zaro joylashuvi
To‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak. Ikkita to„g„ri chiziq
_{orasidagi burchakni ularning yo„naltiruvchi vektorlari} 𝑠 ^{yordamida topish mumkin. To„g„ri chiziqlar orasidagi o„tkir} 𝜑 burchak ularning yo„naltiruvchi vektorlar orasidagi
_{burchakka teng (3-rasm) yoki agar yo„naltiruvchi} 𝐿
_vektorlar orasidagi burchak o„tmas bo„lsa, uning _3-rasm
to„ldiruvchisiga teng. Shunday qilib, va to„g„ri

chiziqlar uchun ularning va o„tkir burchak

yo„naltiruvchilari ma‟lum bo„lsa, u holda bu to„g„ri chiziqlar orasidagi

| |

| || | skalyar ko„paytma bilan aniqlanadi. Bu tenglikni va orqali ifodalasak
|

vektorlarning koordinatalari

|

√ √ formulani hosil qilamiz.
Fazodagi ikki to„g„ri chiziq uchun quyidagi tort holatdan biri yuz berishi mumkin: - To„gri chiziqlar ustma-ust tushadi;
- To„g„ri chiziqlar parallel (ammo ustma-ust tushmaydi); - To„g„ri chiziqlar kesishadi;
- Ayqash to„g„ri chiziqlar.
To„g„ri ciziqlarning o„zaro joylashuvini ularning kanonik tenglamalari yordamida tahlil qilamiz. va to„g„ri chiziqlar

(6)

kanonik tenglamalar bilan berilgan bo„lsin. Har bir to„g„ri chiziq uchun uning kanonik tenglamasidan undagi ( ) , ( ) nuqtani va yo„naltiruvchi vektorning koordinatalarini * +, * +aniqlab olamiz.
Agar to„g„ri chiziqlar ustma-ust tushsa yoki parallel bo„lsa, ularning va yo„naltiruvchi vektorlari kollinear:

(7)

_{Agar to„g„ri chiziqlar ustma-ust tushsa yo„naltiruvchi vektorlarga} ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _vektor ham kollinear:

(8)

Bu qo„sh tenglik yana nuqta to„g„ri chiziqda ham yotadi degan ma‟noni anglatadi. Demak, to„g„ri chiziqlarning ustma-ust tushishi uchun shart (7) va (8) tengliklarning bir vaqtda bajarilishi ekan.
Agar to„g„ri chiziqlar kesishsa yoki ayqash bo„lsa, ularning yo„naltiruvchi vektorlari nokollinear, ya‟ni (7) shart bajarilmaydi. Kesishuvchi to„g„ri chiziqlar bir _{tekislikda yotadi va demak , va} ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _{vektorlar komplanar. Bu vektorlarning} komplanarlik shartini ularning aralash ko„paytmasi orqali yozamiz:

| | (9)

(9) shart to„rt holdan uchtasida o„rinli, chunki bo„lsa, to„g„ri chiziqlar bir tekislikda yotmaydi va shuning uchun ular ayqash.

To‘g‘ri chiziq bilan tekislikning o‘zaro joylashuvi
Fazoda to„g„ri chiziq bilan tekislik joylashuvi uch ko„rinishda yuz beradi: to„g„ri chiziq bilan tekislik bir nuqtada kesishadi; ular parallel; to„g„ri chiziq tekislikda yotadi.
Faraz qilaylik, tekislik umumiy tenglama bilan va

to„g„ri chiziq kanonik tenglama bilan berilgan bo„lsin.
Agar to„g„ri chiziq va tekislik kesishsa, u holda to„g„ri chiqning * + yo„naltiruvchi vektori tekislikka parallel bo„lmaydi. Demak, tekislikning ⃗
* + normal vektori vektorga ortogonal bo„lmaydi, ya‟ni ularning skalyar ko„paytmasi nolga teng emas. To„g„ri chiziq va tekislikning koffisiyentlari orqali bu shart tengsizlik ko„rinishida yoziladi:

Agar to„g„ri chiziq va tekislik parallel yoki to„g„ri chiziq tekislikda yotsa, u holda ⃗bo„ladi, bu esa koordinatalar orqali

ko„rinishda yoziladi. “Parallellik” va “to„g„ri chiziq tekislikda yotish” hollarini ajratish uchun ( ) nuqtaning tekislikda yotish yoki yotmasligini uning koordinatalrini tekislik tenglamasiga qo„yib tekshirish kerak.