Darajali qatorlar. Yaqinlashish radiusi. Qatorlarni differensiallash va integrallash

Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar
Ta’rif. Quyidagi qatorga
(1)
ishoralari navbatlashuvchi qator deyiladi, bu yerda .
1-teorema. (Leybnis teoremasi). Agar (1) qator hadlarining absolyut qiymatlari monoton kamayuvchi ketma-ketlik, ya’ni
(2)
bo’lib va
(3)
bo’lsa, u holda (1) qator yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi musbat bo’ladi va birinchi hadidan katta bo’lmaydi.
Isbot. Qatorning xususiy yig’indisini quyidagi ko’rinishda yozib olaylik:
(4)
. (5)
(4) va (5) xususiy yig’indilarning har bir qavs ichidagi ifoda (2) shartga asosan musbatdir. (4) dan ekanligi kelib chiqadi. ketma-ketlik monoton o’suvchi bo’ladi. (5) dan , ya’ni ketma-ketlik chegaralanganligi ravshandir. Demak, bu ketma-ketlik chekli limitga ega, ya’ni
(6)
bunda . (6) va (3) larni e’tiborga olgan holda
. (7)
(6) va (7) lardan

kelib chiqadi. Bundan (1) qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
Teorema isbot bo’ldi.
1-misol. qatorning yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Berilgan qator hadlarining absolyut qiymatlari monoton kamayuvchi ketma-ketlikni tashkil qiladi.
Shuningdek, .
Demak, Leybnis teoremasining shartlari bajarilganligi sababli berilgan qator yaqinlashuvchidir.
2-teorema. (1) ishoralari navbatlashuvchi qatorning qoldig’i Leybnis teoremasining shartlarini qanoatlantirgani uchun o’zining birinchi hadining ishorasi bilan bir xil va absolyut qiymat bo’yicha birinchi hadidan kichik bo’ladi.
Isbot. Agar juft bo’lsa, u holda
.
Bu qator Leybnis teoremasining shartlarini qanoatlantirgani uchun

bo’ladi. Bu tengsizlikdan

kelib chiqadi.
Agar toq bo’lsa,
.
Bundan

bo’ladi.
.
Tengsizlikka asosan

bo’ladi. Demak, va o’rinli bo’ladi.
Teorema isbot bo’ldi.
Misol. 0,1 aniqlik bilan yaqinlashuvchi qatorning yig’indisini hisoblang.
Yechish. Qatorning xususiy yig’indisi , uning taqribiy yig’indisi bo’lsin.
, teoremaga asosan . Demak, deb olish kerak
.