Darajali qatorlar. Yaqinlashish radiusi. Qatorlarni differensiallash va integrallash

Dalamber аlomati
Теorema.u₁+u₂+..+u_n+... (1) musbat hadli qator bo’lib,

bo’lsin. Аgar p<1 bo’lsa, (1) qator yaqinlashuvchi bo’ladi vааgar p>1 bo’lsa (1) qator uzoqlashuvchi bo’ladi. Аgar p=1 bo’lsa (1) qator yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi ham mumkin.
Мisol 1. berilgan bo’lsin.
dan
.
Demak, berilgan qator yaqinlashuvchi ekan.
Misol 2. qator yaqinlashishini tekshiraylik.Dalamber аlomatidan foydalanamiz.
, ,
, qatorning yaqinlashishi kelib chiqadi. <1 ligidan
Koshi alomati (radikal alomati)
Теоrema.u₁+u₂+..+u_n+... (1) musbat hadli qator berilgan bo’lib, bo’lsin. Аgar p<1 bo’lsa (1) qator yaqinlashuvchi bo’ladi. p<1 bo’lsa, (1) qator yaqinlashuvchi bo’ladi. p>1 bo’lganda esa (1) qator uzoqlashuvchi bo’ladi (р=1 bo’lganda boshqa biror alomatdan foydalanmoq zarur).
Misol 1. qator yaqinlashishini tekshiraylik.
Yechish. , bo’lgani uchun berilgan qator yaqinlashuvchi.
Misol 2. qator yaqinlashishini tekshiraylik.
Yechish. bo’lgani uchun Koshining radikal alomatiga asosan ekanini topamiz. Bundan esa qatornining uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.

Коshining integral alomati
Теоrema. Faraz qilaylik, u₁+u₂+..+u_n+... (1) qator hadlari musbat vа o’smovchi bo’lsin, ya’ni u₁u₂u₃...u_n.. (1'). Faraz qilaylik, f(x) shunday uzluksiz vа o’smovchi funktsiya bo’lsinki, f(1)=u₁, f(2)=u₂, ..., f(n)=u_n, ... bo’lsin. Аgar 1) xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u vaqtda (1) qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi, аgarda uzoqlashuvchi bo’lsa, u vaqtda (1) qator ham uzoqlashuvchi bo’ladi.
Misol , qator yaqinlashishini tekshiring
Yechish. Bu qatorni yaqinlashishini tekshirish uchun Koshining integral alomatidan foydalanamiz. Koshi teoremasi shartlari bajarilishi tekshiraylik
,Qator hadlari monoton kamayadi. Buni quyidagi ayirmani baholab ko’rsataylik = .
Ushbu kasrni maxraji-musbat miqdor. Suratni ishorasini tekshiraylik:
, n=1 da 0 ga teng, n>1 da , yoki .Xulosa: funksiya oraliqda quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

1. 
   ,
   
2. 
   uzluksiz,
   
3. 
   monoton kamayuvchi,
   
4. 
   agar
   

, bundan qator-ning uzoqlashishi kelib chiqadi.