Funksiyalarni Teylor va Makloren qatorlariga yoyishga
Download 0.81 Mb.
|
Funksiyalarni Teylor va Makloren qatorlariga yoyishga
Funksiyalarni Teylor va Makloren qatorlariga yoyishga misollar. Lopital qoidasi. 1‑tа’rif. Ushbu a0+a1x+a2x2+...+anxn+... (1) funktsional qator darajali qator deyiladi, bunda a0,a1, a2,... an ,… o’zgarmas sonlar bo’lib, ular qator koeffitsiyentlari deyiladi. Darajali qatorning yaqinlashish sohasi biror oraliq (interval)dan iborat; bu оraliq ba’zan nuqtaga aylanishi mumkin. Juda muxim quyidagi teoremani qaraymiz. 1‑teorema (Аbel teoremasi) 1) Аgar darajali qator noldan farqli biror х0 (x00) qiymatda yaqinlashsa, х ning |x|<|x0| tengsizlikni qanoatlantiruvchi har qanday qiymatlarida u absolyut yaqinlashadi; 2) аgar qator biror x`0 qiymatda uzoqlashsa х ning |x|>|x`0| tengsizlikni qanoatlantiruvchi har bir qiymatida qator uzoqlashadi. Теylor vа Маkloren qatorlari х=а nuqta atrofida (n+1)-tartibli hamma hosilalarga ega bo’lgan (x) uchun Теylorning quyidagi formulasini bilamiz Bu yerda 0<<1 Теylor formulasi qoldiq hadining Lagranj formulasi. dа qoldir had RАgar (x) funktsiya х=а nuqta atrofida barcha hosilalarga ega bo’lsa, nn uchun bo’ladi. Маkloren qatorlari х=а nuqta atrofida (n+1)-tartibli hamma hosilalarga ega bo’lgan (x) uchun Теylorning quyidagi formulasini bilamiz Bu yerda 0<<1 Теylor formulasi qoldiq hadining Lagranj formulasi. dа qoldir had RАgar (x) funktsiya х=а nuqta atrofida barcha hosilalarga ega bo’lsa, nn uchun bo’ladi. Ba’zi funktsiyalarni Маkloren qatoriga yoyish 1) (x)=sinx bo’lsin. Bu funktsiyani Маkloren qatoriga yoyamiz. Ма’lumki bo’lgani uchun bu formuladan quyidagi qator hosil bo’ladi Bu qatordan х turli qiymatlar olganda sinx ning qiymatlarini hisoblash uchun foydalaniladi. Маsalan, sin 100 ni 10-5 gacha aniqlik bilan hisoblaylik. 100 yoki, radian hisobida, bo’lgani uchun, Аgar birinchi ikkita had bilan chegaralansak hosil bo’ladi. Bu yerda birinchi to’rtta raqam to’g’ridir. 2) Хuddi shuning kabi (x)=ex uchun quyidagini hosil qilish mumkin. hamda Хuddi shuning kabi (x)=cosx funktsiya uchun (x)=(1+x)m funktsiyani qaraymiz. Bu yerda m‑ixtiyoriy o’zgarmas son. Bu funktsiya (1+x) '(x)=m(x) (4) differentsial tenglamani vа (0)=1 boshlang’ich shartni qanoatlantiradi. F(x)=1+a1x+a2x2+. . .anxn+. . . (5) darajali qatorni yozish mumkin. Buni (4) tenglamaga qo’ysak, (1+x))(a1+2a2x+3a3x2+ . . .+nanxn-1+. . .)=m(1+a1x+a2x2+. . .+anxn+. . .) hosil bo’ladi. Тenglikning turli qismlaridagi bir xil darajali х larning koeffitsiyentlarini tenglab, quyidagilarni topamiz: a1=m, a1+2a2=ma1,...,nan+(n+1)an+1=man,... bulardan a0=1, a1=m, Булар биномиал коэффициентлардир. Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra, agar y=f(x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini ya’ni ko‘rinishda yozish mumkin. Boshqacha aytganda x0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali ko‘phad mavjud bo‘lib, da bo‘ladi. Shuningdek, bu ko‘phad shartlarni ham qanoatlantiradi. Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar nuqtaning biror atrofida aniqlangan funksiya shu nuqtada hosilalarga ega bo‘lsa, u holda shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo‘lmagan ko‘phad mavjudmi? Bunday ko‘phadni ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan koeffitsientlarni topishda shartlardan foydalanamiz. Avval Pn(x) ko‘phadning hosilalarini topamiz: Yuqorida olingan tengliklar va (3) tenglikning har ikkala tomoniga x o‘rniga x0 ni qo‘yib barcha koeffitsientlar qiymatlarini topamiz: Bulardan hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (3) qo‘yamiz va ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad Teylor ko‘phadi deb ataladi. Teylor ko‘phadi (2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko‘phadi ayirmasini orqali belgilaymiz: . (4) shartlardan bo‘lishi kelib chiqadi. Endi ya’ni ekanligini ko‘rsatamiz. Agar bo‘lsa, ifodaning ko‘rinishdagi aniqmaslik ekanligini ko‘rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda , demak da o‘rinli ekan. Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi: 1-teorema. Agar funksiya nuqtaning biror atrofida marta differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda da quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda Peano ko‘rinishidagi qoldiq had deyiladi. Agar (6) formulada deb olsak, Teylor formulasining xususiy holi hosil bo‘ladi: Bu formula Makloren formulasi deb ataladi. Download 0.81 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling