Funksiyalarni Teylor va Makloren qatorlariga yoyishga

Binomial qatorlar
m=1/2 bo’lganda

m=-1/2 bo’lganda:
(6)
Binom yoyilmasini boshqa funktsiyalarning yoyilmasiga tadbiq etamiz:
(x)=arcsinx funktsiyani Маkloren qatoriga yoyamiz. (6) tenglikdagi х o’rniga -х² ifodani qo’ysak:

|x|<1 bo’lganda, darajali qatorlarni integrallash haqidagi teoremaga asosan quyidagini hosil qilamiz:

Bu qator (‑1; 1) оraliqda yaqinlashadi. Qator х=1 bo’lganda ham yaqinlashishini vа bu qiymatlar uchun qatorning yig’indisi arcsinx gа tengligini isbot qilish mumkin. U vaqtda х=1 deb olib, ? ni hisoblashning quyidagi formulasini hosil qilamiz:
arcsin1=


Teylor formulasi. Ba’zi-bir elementar funksiyalar uchun Teylor formulalari. Teylor formulasining limitlarni hisoblashga, taqribiy hisobga tatbiqlari
Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo‘lib, ko‘plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi.
1. Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi. Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x₀ nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi.
Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra, agar y=f(x) funksiya x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini   ya’ni

ko‘rinishda yozish mumkin.
Boshqacha aytganda x₀ nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali

ko‘phad mavjud bo‘lib,   da   bo‘ladi. Shuningdek, bu ko‘phad     shartlarni ham qanoatlantiradi.
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar   nuqtaning biror atrofida aniqlangan   funksiya shu nuqtada   hosilalarga ega bo‘lsa, u holda

shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo‘lmagan   ko‘phad mavjudmi?
Bunday ko‘phadni

ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan   koeffitsientlarni topishda

shartlardan foydalanamiz. Avval P_n(x) ko‘phadning hosilalarini topamiz:





Yuqorida olingan tengliklar va (3) tenglikning har ikkala tomoniga x o‘rniga x₀ ni qo‘yib barcha   koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:





Bulardan   hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (3) qo‘yamiz va

ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad Teylor ko‘phadi deb ataladi.
Teylor ko‘phadi (2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko‘phadi ayirmasini   orqali belgilaymiz:  . (4) shartlardan   bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi   ya’ni   ekanligini ko‘rsatamiz. Agar   bo‘lsa,   ifodaning   ko‘rinishdagi aniqmaslik ekanligini ko‘rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda
, demak   da  o‘rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi: