Darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi va sohasi. Koshi-Adamar formulasi,darajali qatorlarning funksional xossalari

4⁰. Darajali qatorning tekis yaqinlashishi. Aytaylik, ushbu
(1)
darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’lsin.
1-teorema. (1) darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi, bunda .
◄ Ravshanki, (1) darajali qator da absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.
Aytaylik, bo’lsin. Unda va da

bo’lganligi uchun, Veyershtrass alomatiga ko’ra (1) qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. ►

Demak, darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’lsa, yuqorida keltirilgan teoremaga ko’ra bu qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Bunda sonni songa har qancha yaqin qilib olish mumkin bo’lsada, qator da tekis yaqinlashmasdan qolishi mumkin. Masalan, ushbu

darajali qatorning yaqinlashish radiusi , biroq qator da tekis yaqinlashuvchi emas.

5⁰. Darajali qatorning xossalari. Ma’lumki, darajali qatorlar funkstional qatorlarning xususiy holi. Binobarin, ular tekis yaqinlashuvchi funkstional qatorlar-ning xossalari kabi xossalarga ega.
2-teorema. Agar

darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’lib, yig’indisi

bo’lsa, funkstiya da uzluksiz bo’ladi.
◄ Ravshanki, qaralayotgan darajali qator da yaqinlashuvchi bo’ladi.
Aytaylik, bo’lsin. Ushbu

tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonini olaylik. Unda darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Tekis yaqinlashuvchi funkstional qatorning xossasiga ko’ra darajali qatorning yig’indisi funkstiya da uzluksiz, jumladan nuqtada uzluksiz. ►

3-teorema. Aytaylik, darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’lib, yig’indisi bo’lsin:
.
Bu qatorni ga tegishli bo’lgan ixtiyoriy bo’yicha hadlab integrallash mumkin:
.
Xususan, uchun
(2)
bo’ladi.
◄ Ravshanki, darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Tekis yaqinlashuvchi funkstional qatorning xossasiga ko’ra uni hadlab integrallash mumkin. Ayni paytda, (2) qatorning yaqinlashish radiusi ga teng bo’ladi. Haqiqatan ham Koshi-Adamar teoremasiga ko’ra

bo’ladi. ►

Natija. Aytaylik, darajali qator berilgan bo’lib, uning yaqinlashish radiusi bo’lsin. Bu qatorni bo’yicha ixtiyoriy marta hadlab integrallash mumkin. Integrallash natijasida hosil bo’lgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng bo’ladi.