Darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi va sohasi. Koshi-Adamar formulasi,darajali qatorlarning funksional xossalari

3-teorema. Faraz qilaylik,

darajali qatorning yaqinlashish radiusi , yig’indisi bo’lsin:

.
U holda funkstiya da uzluksiz hosilaga ega va
(3)
bo’ladi, bunda (3) qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng.
◄ Berilgan darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Tekis yaqinlashuvchi funkstional qator-ning xossasiga ko’ra darajali qatorni hadlab differen-stiallash mumkin. Demak, da
.
Bu darajali qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng bo’lishi quyidagi munosabatdan kelib chiqadi:
.►
Natija. Aytaylik, darajali qator berilgan bo’lib, uning yaqinlashish radiusi bo’lsin. Bu qatorni da ixtiyoriy marta hadlab differenstiallash mumkin. Differenstiallash natijasida hosil bo’lgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng bo’ladi.
4-teorema. Aytaylik,

darajali qatorning yaqinlashish radiusi , yig’indisi bo’lsin:

. (4)
U holda da

bo’ladi.

◄(4) munosabatda deb topamiz:

.
(4) qatorni hadlab differenstiallaymiz:

.
Bu tenglikda deyilsa

bo’lishi kelib chiqadi. Shu jarayonni davom ettiraborib

bo’lishini topamiz. ►
1-misol. Ushbu

darajali qator yig’indisi topilsin.

◄Ma’lumki,

darajali qator da yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ga teng:

.
Bu qatorni hadlab differenstiallab topamiz:
,
.
Keyingi tenglikning har ikki tomonini ga ko’paytirsak, unda

bo’lishi kelib chiqadi. ►

2-misol. Ushbu

tenglikning to’g’riligi isbotlansin.

◄Ravshanki,

darajali qator da yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi ga teng:

.
Bu tenglikda ni ga almashtirsak, natijada

tenglik hosil bo’ladi. Uni bo’yicha integrallab topamiz:

,

.
3-misol. Ushbu

darajali qator yig’indisi topilsin va undan foydalanib

bo’lishi ko’rsatilsin.

◄Ma’lumki,
.
Bu tenglikda ni ga almashtiramiz. Natijada hosil bo’ladi. Uni bo’yicha integrallab topamiz:
,
,
.
Keyingi tenglikda deylik. Unda tenglikning chap tomoni

sonli qatorga aylanib, u Leybnist teoremasiga ko’ra, yaqin-lashuvchi bo’ladi. Demak,

. ►