Davri 2π ga teng boʻlgan funksiyalarni (-π:π) oraligʻida Fure qatoriga yoyish

Toq funksiya uchun Furye qatori faqat sinuslardan iborat ekan, a_o = 0, a_k = 0 

Misol. Davri T = 2π ga teng bo'lgan 

funksiyaning Furye qatoriga yoying. 

Yechish. Juft funksiya (-π, π) intervalda Dirixle shartlarini qanoatlantiradi (1-shak1). 

2. Ixtiyoriy davrli funksiya uchun Furye qatori.
Endi ixtiyoriy 2l davrli, Dirixle shartlarini qanoatlantiruvchi f(x) funksiyani qaraymiz.
o'rniga qo'yish bizni funksiyaga olib keladi, bu funksiyani Furye qatoriga yoyamiz:
Koeffitsentlari (2) formulalari bilan aniqlanadigan (1) gator ixtiyoriy 21 davrli f(x) funksiya uchun Furye qatori deyiladi. 
21 davrli juft funksiya uchun hamma b_k = 0 bo'ladi, demak Furye qatori faqat kosinuslarni o'z ichiga oladi: 
bu yerda 
21 davrli toq funksiya uchun esa hamma a_k = 0 va a₀ = 0 bo'ladi, demak, Furye qatori faqat sinuslarni o'z ichiga oladi: 
bu yerda 
Ko'pincha [0,l] kesmada (yarim davrda) berilgan f(x) funksiyani sinuslar bo'yicha yoki kosinuslar bo'yicha yoyish masalasi talab etiladi. 
f(x) funksiyani kosinuslar^. bo'yicha qatorga yoyish uchun funksiya juftligicha 
kesmadan [-1,0] kesmaga davom ettiriladi. U holda «davom ettirilgan» juft funksiya uchun Furye qatori faqat kosinuslarni o'z ichiga oladi. Agar f(x) funksiyani qatoriga sinuslar bo'yicha yoyishni istasak, u holda funksiyani toqligicha [0,l] kesmadan [-l,0] kesmagacha davom ettiramiz, bunda f (x) = 0 deb olishimiz kerak. «Davom ettirilgan» toq funksiya uchun Furye qatori faqat sinuslarni o'z ichiga oladi. 
Aslida kesmadan-kesmaga davom ettirishni amalga oshirmasa ham bo'ladi, chunki Furye koeffisentlarini hisoblash formulalaridan juft yoki toq funksiya holida f (x) funksiyaning [0,1] kesmadagi qiymatlari qatnashadi. 


Biz yuqorida oraliqda berilgan funksiya uchun uning Fure qatori tushunchasini kiritdik. Bunday tushunchani ixtiyoriy oraliqda berilgan funksiya uchun ham kiritish mumkin.
funksiya da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin.
Ravshanki, ushbu
(19)
almashtirish oraliqni oraliqqa o’tkazadi. Agar

deyilsa, funksiyani da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lishini ko’rish qiyin emas. Bu funksiyaning Fure qatori quyidagicha bo’ladi:

bunda,
(n=0,1,2,3…)
n=(0,1,2,3…)
Yuqoridagi, (19) tenglikni olsak, unda

bo’lib, uning koeffisiyentlari esa


bo’ladi.
Natijada

ga ega bo’lamiz, bunda


(2) ning o’ng tomonidagi trigonometrik qatorni da berilgan ning Fure qatori deyiladi. (4) Fure koeffisiyentlari deyiladi.
10-misol. Ushbu

Funksiyaning Fure qatori yozilsin.

2. 
   formulalardan foydalanib berilgan funksiyaning Fure koeffisiyentlarini topamiz:
   

Demak, funksiyaning Fure qatori ushbu

ko’rinishda bo’ladi.