Davri 2π ga teng boʻlgan funksiyalarni (-π:π) oraligʻida Fure qatoriga yoyish

13-misol. Ushbu funksiya bo‘lakli-differensiallanuvchi bo‘ladimi?
Yechish. Funksiya [-1;2] kesmada aniqlangan. Bu kesmani [-1;0] va [0;2] kesmalarga ajratamiz. Bu kesmalarga mos intervallarda funksiya differensiallanuvchi. Ammo, 0 nuqtada funksiyaning chap hosilasi mavjud emas . Demak, berilgan funksiya bo‘lakli-differensiallanuvchi emas.
Biz yuqorida kesmada bo‘lakli-differensiallanuvchi funksiya tushunchasini ko‘rdik. Bu tushunchani (-;+) oraliq uchun umumlashtiramiz.
Agar f(x) funksiya (-;+) oraliqda berilgan bo‘lib, uning istalgan [a;b] qismida bo‘lakli-differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda f(x) funksiya (-;+) oraliqda bo‘lakli-differensiallanuvchi deyiladi.
Quyidagi teorema f(x) funksiyaning Furye qatoriga yoyilishining yetarli shartini beradi.
8-teorema (Dirixle). Agar davri 2 ga teng bo‘lgan f(x) funksiya [0;2] kesmada bo‘lakli-differensiallanuvchi funksiya bo‘lsa, u holda bu funksiya uchun tuzilgan Furye qatori barcha nuqtalarda yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi bo‘ladi.
Fure qatori yordamida sonli qatorlarni hisoblash.
14-misol. Davri 2 ga teng bo‘lgan funksiya [0,2) yarim intervalda ushbu formula bilan berilgan:

(5-rasm). f(x) funksiyani trigonometrik qatorga (Furye qatoriga) yoying.
Yechish. Furye koeffitsientlarini hisoblaymiz. Yuqorida isbotlangan tasdiqqa ko‘ra [0;2] kesma bo‘yicha integralni [-;] kesma bo‘yicha olingan

5-rasm
integralga almashtirish mumkin. U holda bo‘ladi. Integral ostidagi funksiyaning 0 nuqtadagi qiymatini e’tiborga olmasak, u toq funksiya bo‘ladi. Shu sababli a₀=0 bo‘ladi. Shuningdek, integrallarda ham integral ostida toq funksiyalar bo‘lganligi sababli, a_n=0 bo‘ladi. Endi b_n koeffitsientlarni hisoblaymiz:

bundan kelib chiqadi. Shunday qilib f(x) funksiyaning Furye qatori quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(22)
Xususan, da bo‘ladi.