Davri 2π ga teng boʻlgan funksiyalarni (-π:π) oraligʻida Fure qatoriga yoyish

Bo‘lakli-differensiallanuvchi funksiya tushunchasi. Dirixle teoremasi.
Agar [a;b] kesmani chekli sondagi x₁, x₂, .., x_n-1 nuqtalar yordamida [x₀;x₁], [x₁;x₂], [x₂;x₃], …, [x_n-1;x_n] (bu yerda x₀=a, x_n=b) kesmalarga ajratish mumkin bo‘lib, bu kesmalarga mos intervallarda f(x) funksiya differensiallanuvchi hamda x=x_k (k=0, 1, 2, …, n-1) nuqtalarda chekli o‘ng va chap (k=1, 2, …, n) hosilalarga ega bo‘lsa, u holda f(x) funksiya [a;b] kesmada bo‘lakli-differensiallanuvchi deyiladi.
Izoh. x=x_k (k=0, 1, 2, …, n-1) nuqtalarda o‘ng hosilani hisoblaganda funksiyaning x=x_k nuqtadagi qiymati deb qabul qilinadi. Shunga o‘xshash, x=x_k (k=1, 2, …, n) nuqtalarda chap hosilani hisoblaganda funksiyaning x=x_k nuqtadagi qiymati deb qabul qilinadi.

4-rasm
4-rasmda bo‘lakli-differensiallanuvchi funksiyaga misol keltirilgan. Yuqoridagi izohdan ko‘rinadiki, funksiyaning x₁, x₂, .., x_n-1 nuqtalardagi qiymatlari funksiyaning shu nuqtalar atrofidagi qiymatlari bilan bog‘liq bo‘lishi shart emas.
Agar f(x) funksiya bo‘lakli-differensiallanuvchi funksiya bo‘lsa, u holda bu funksiya va uning hosilasi faqat x₁, x₂, .., x_n-1 nuqtalarda birinchi tur uzilishga ega bo‘lishi mumkin.
11-misol. Ushbu funksiya bo‘lakli-differensiallanuvchi bo‘ladimi?
Yechish. Funksiya [0;2] kesmada aniqlangan. Bu kesmani [0;1] va [1,2] kesmalarga ajratamiz. Bu kesmalarga mos intervallarda funksiya differensiallanuvchi. 0 va 1 nuqtada o‘ng hosila , 1 va 2 nuqtalarda chap hosila mavjud. Demak, berilgan funksiya bo‘lakli-differensiallanuvchi.
12-misol. Ushbu funksiya bo‘lakli-differensiallanuvchi bo‘ladimi?
Yechish. Funksiya [0;2] kesmada aniqlangan. Bu kesmani [0;1] va [1;2] kesmalarga ajratamiz. Bu kesmalarga mos intervallarda funksiya differensiallanuvchi. Yuqoridagi kabi funksiyaning 0 va 1 nuqtadagi o‘ng hosilalarini, 2 nuqtadagi chap hosilasini hisoblash muammo emas. Bu funksiyaning 1 nuqtadagi chap hosilasini hisoblashda, izohga ko‘ra, f(1) deb f(1-0)=2 ni qabul qilishimiz lozim. Bu holda bo‘ladi. Shunday qilib, bu funksiya ham bo‘lakli-differensiallanuvchi ekan.