Davriy nuqtalar

Davriy nuqtalar
Huddi qo’zg’almas nuqtalar kabi davriy nuqtalar ham tortuvchi, itaruvchi va neytral davriy nuqtalar kabi turlarga ajraladi. Quyidagi misolni ko’rib chiqaylik,
funksiya davri ikkiga teng 0, -1, 0, -1, … tortuvchi sikl tashkil etadi:

Bu holatni quyidagicha ko’rib chiqishimiz mumkin:

Ta’kidlash lozimki, to’rtta qo’zg’almas nuqtga ega bo’lib, ulardan ikkitasi funksiyaning qo’zg’almas nuqtalari hamda 0 va -1. Bundan ko’rinadiki, 0 va -1 nuqtalar funksiyaning davriy nuqtalari ekan.

funksiyaning hosilasi bo’lib, mazkur hosilaning qiymati 0 va -1 nuqtalarda o’zaro teng:

Bu hulosa shuni ko’rsatadiki, funksiyaning ikkinchi iteratsiyasi uchun 0 va -1 nuqtalar tortuvchi qo’zg’almas nuqtalar ekan. Bundan 0 va -1 ning atrofidagi nuqtalar ikkinchi iteratsiya ta’sirida ushbu nuqtalarga yaqinlashadi.
Mazkur tekshirish yordamida biz orbitasi davri n ga teng bo’lgan davriy nuqtalarning tortuvchi yohud itaruvchi ekanligini o’rganish jarayonida n-iteratsiya bo’lgan funksiyaning qo’zg’almas nuqtalarining tortuvchi yoki itaruvchiligini tekshirish masalasini o’rganishga kelib qolamiz. Bundan agar nuqta funksiya uchun davri n ga teng bo’lgan siklik orbita hosil qilsa, u holda uning tortuvchi yoki itaruvchiligini tekshirish uchun biz ning nuqtadagi hosilasini tekshirishimiz kerak ekan. Bunday jarayonda biz Zanjir qoidasidan foydalanamiz.
Faraz qilaylik, F va G differensiallanuvchi funksiyalar bo’lsin.

Xususan,


Sikl bo’yicha Zanjir Qoidasi. Faraz qilaylik, , , , … , nuqtalar funksiyaning davri n ga teng davriy orbitasida yotsin hamda bo’lsin, u holda
(1)
tenglik o’rinli.
Ushbu formula bizga funksiyaning n-iteratsiyasi bo’lgan funksiyaning nuqtadagi hosilasini beradi va bu miqdor ning barcha davriy nuqtalaridagi hosilalari ko’paytmasiga teng. Yuqoridagi misolni ko’rib chiqadigan bo’lsak, funksiya 0 va -1 da 2-siklga ega bo’lib,



(1) formuladan foydalanadigan bo’lsak, biz quyidagi natijaga ega bo’lamiz:


hamda ekanidan:


Natijalarga ega bo’lamiz, ya’ni ekani kelib chiqadi. Bundan esa biz quyidagi tasdiqqa ega bo’lamiz:
Tasdiq. Faraz qilaylik, , , , … , nuqtalar funksiyaning davri n ga teng davriy orbitasida yotsin hamda bo’lsin, u holda
(2)
tengliklar o’rinli.
Misol. funksiya uchun nuqta 3-siklda yotsa, ya’ni , va ekani ma’lum bo’lsa, u holda ushbu siklik orbitaning tortuvchi yoki itaruvchi ekanligini aniqlang.
Yechish: Dastlab, berilgan funksiya hosilasini topamiz:



Bundan biz quyidagi natijaga ega bo’lamiz:

Javob: funksiyaning 3- sikli itaruvchi sikldir.