Dekart koordinatalar sistemasida tekislik Raja: Dekart koordinatalar tizimi

Takidlaymizki, koordinatalar sistemasi faqatgina shu ko‘rsatilgan koordinatalar sistemasi emas, balki cheksiz ko‘pdir. Masalan tekislikda Dekart koordinatalar sistemasida OX va OY o‘qlari perpendikulyar bo‘lmasa, masalan burchak tashkil qilsa, bunday koordinata sistemasiga affin koordinata sistemasi deyiladi.

Amalda qutb, egri chiziqli, sferik va silindrik koordinata sistemalari keng qo‘llaniladi.

Misol uchun qutb koordinatalar sistemasi bilan tanishaylik. Tekislikni ixtiyoriy O nuqtasidan OX o‘qini o‘tkazimiz. Bu vaqtda tekislikdagi M nuqtaning vaziyati ikki miqdor bilan, O nuqtadan M

Nuqtagacha bo‘lgan masofa va
M r ning OX o‘qi bilan tashkil kilgan

Burchagi orqali aniqlanadi. O

Nuqta-qutb, OX o‘q qutb o‘qi, r esa
O \ x M nuqtaning radius vektori,
esa qutb burchagi deyiladi. r va
sonlar M nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va M(r; ) ko‘rinishda yozilib, M (x;у)-M(r; )
u Agar to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasini
koordinata boshi qutb bilan OX o‘qi

qutb o‘qi bilan ustma ust tushsa

u nuqtaning to‘g‘ri burchakli

x Dekart koordinatalari va

o x qutb koordinatalar orasida

quyidagi sodda boglanish mavjud:

x=r Cos .y=rSin . r= . =arc tg y/x

M: M(5;5) nuqtani qutb koordinatalar sistemasidagi koordinatalarini toting,

Echish: r= = =5 ; =arstg u/x=arctg 1=45=

(1)
tenglama berilgan bo’lsin. Bu yerda koeffitsientlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lishi lozim.Bu shartni ko’rinishda yozish mumkin.
Ta’rif-1. Tekislikda koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantiruvchi
nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli chiziq deyiladi.
Misollar.
Tekislikda koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami faqat bitta nuqtadan iborat.
2) Tekislikda koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami ikkita to’g’ri chiziqdan iborat.
3) Tekislikda koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami ikki qismdan iborat va maktab kursidan ma’lumki, u giperbola deb ataldi.
Ta’rif-2. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini biror dekart koordinatalar sistemasida
(2)
ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, u parabola deb ataladi. Tenglamadagi soni parabola parametri deyiladi.
Misol. Siz maktab kursidan tenglama bilan berilgan parabolani yaxshi bilasiz. Bu tenglamani kanonik ko’rinishga keltirish uchun almashtirish bajaramiz. Natijada tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda .
Mustaqil ish-1.O’quvchiga tanish tenglama bilan berilgan parabolani chizing va tenglamasini kanonik ko’rinishga keltiring.
Biz ikkinchi tenglamani tekshirish yordamida parabolaning xossalarini o’rganamiz va uni chizamiz. Tenglamadan ko’rinib turibdiki, agar koordinatali nuqta parabolga tegishli bo’lsa, nuqta ham parabolaga tegishli bo’ladi. Demak parabola o’qiga nisbatan simmetrik joylashgandir. Bundan tashqari koordinata boshi parabolaga tegishli, manfiy qiymatlarni qabul qilmaganligi uchun parabola o’qining o’ng tomonida joylashgan. Bu mulohazalardan foydalanib biz chizmada parabolani quyidagi ko’rinishda tasvirlashimiz mumkin.
Tekislikda tenglama bilan berilgan to’gri chiziq parabolaning direktisasi , nuqta esa uning fokusi deb ataladi.
Parabola xossalari:
. Parabolaning ixtiyoriy nuqtasidan direktisagacha bo’lgan masofa fokusgacha bo’lgan masofaga tengdir.
Parabola nuqtasidan nuqtagacha bo’lgan masofani bilan, direktisagacha bo’lgan masofani bilan belgilab tenglikni isbotlaymiz.

ifodada tenglikdan foydalansak va munosabatni hisobga

olsak

formulani hosil qilamiz.

Direktrisagacha bo’lgan masofani hisoblash uchun nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa formulasidan foydalanib

tenglikni hosil qilamiz.

. Parabolaning geometrik aniqlanishi.
Berilgan to’gri chiziq va unda yotmaydigan nuqtadan bir xil uzoqlikda joylashgan nuqtalar to’plami paraboladir.
Tekislikda to’g’ri chiziq va unga tegishli bo’lmagan nuqta berilgan bo’lsin. Berilgan nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani bilan belgilab va nuqtadan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar ravishda o’tuvchi to’g’ri chiziqni abssissa o’qi sifatida olib koordinatalar sistemasini kiritamiz. Abssissa o’qining musbat yo’nalishi to’g’ri chiziqdan nuqta tarafga yo’nalgan, koordinata boshini to’g’ri chiziq va nuqta o’rtasiga quyidagi chizmadagi kabi joylashtiramiz. Ordinata o’qi esa to’g’ri chiziqqa paralleldir. Natijada to’g’ri chiziq: tenglamaga, nuqta esa koordinatalarga ega bo’ladi.Tekislikning nuqtasidan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofaning shu

nuqtadan nuqtagacha bo’lgan masofaga tengligidan

tenglamani hosil qilamiz.