Dekart koordinatalar sistemasini almashtirish

Ellips
Ta’rif-3. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini birorta dekart koordinata sistemasida
(3)
ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa, u ellips deb ataladi. Bu erda koeffisientlar munosabatni qanoatlantiradi.
Bu tenglamani o’rganish natijasida ellipsni chizamiz va uning xossalarini keltirib chiqaramiz. Tenglamadan ko’rinib turibdiki o’zgaruvchilar
, tengsizliklarni qanoatlantiradi. Abssissa o’qida yotuvchi nuqtalar ellipsning fokuslari, tenglamalar bilan aniqlanuvchi to’g’ri chiziqlar ellipsning direktrisalari deb ataladi.Bu yerda , bo’lib, soni ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Tenglamadan ko’rinib turibdiki, ellips koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik joylashgan bo’lib, koordinata boshi uning simmetriya markazidir.
Ellips xossalari:

1. 
   Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo’lgan masofalar yig’indisi o’zgarmas va ga tengdir.
   

Bu xossa bevosita hisoblash yordamida tenglikni tekshirish yordamida isbotlanadi.
2. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo’lgan masofalarning mos direktrisalargacha bo’lgan masofalarga nisbati o’zgarmas va soniga tengdir.
Bu xossa bevosita tenglikni tekshirish yordamida isbotlanadi.


2. Ellipsning geometrik aniqlanishi.
Tekislikda ikkita nuqta berilgan bo’lsa, bu nuqtalargacha bo’lgan masofalarining yigindisi o’zgarmas songa teng bo’ladigan nuqtalarning geometrik o’rni ellips bo’ladi.
Isbot.Tekislikda nuqtalar berilgan.Biz tekislikning nuqtasidan bu nuqtalargacha bo’lgan masofalarni mos ravishda ko’rinishda belgilab

tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtalarinng geometrik o’rnini aniqlashimiz kerak. Berilgan nuqtalar orasidagi masofani bilan belgilasak, tengsizlikdan munosabat kelib chiqadi. Tekislikda dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz.Berilgan nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni abssissa o’qi sifatida olamiz, unda musbat yo’nalish nuqtadan nuqtaga qarab yo’nalgan bo’ladi. Koordinata boshini nuqtalarning o’rtasiga joylashtirib, ordinata o’qi sifatida abssissa o’qiga perpendikulyar ixtiyoriy o’qni olamiz. Masofalar uchun
,
ifodalarni yuqoridagi tenglikga qo’yib

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga oshirib,
hadlarni ixchamlashtirib va yana bir marta kvadratga oshirib

tenglamani hosil qilamiz. Bu erda belgilash kiritilgan.
3. Bizga to’g’ri chiziq va unga tegishli bo’lmagan nuqta berilgan bo’lsa, tekislikda berilgan nuqtagacha bo’lgan masofasining berilgan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofasiga nisbati o’zgarmas birdan kichik soniga teng bo’lgan nuqtalarning geometrik o’rni ellips bo’ladi.
Bu faktni isbotlash uchun berilgan nuqtadan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar to’g’ri chiziq o’tkazib, uni abssissa o’qi sifatida olamiz. Natijada abssissa o’qini nuqta ikki qismga ajratadi.Berilgan nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofaning soniga ko’paytmasini bilan belgilab, quyidagi tengliklar bilan
va ,
, sonlarni kiritamiz.Koordinata boshini abssissa o’qining to’g’ri chiziqni kesmaydigan qismida nuqtadan birlik masofada joylashtiramiz. Natijada koordinata boshidan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa

kattalikka teng bo’ladi. Bu erda bilan nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa belgilangan. Demak to’g’ri chiziq tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi. Ikkinchi koordinata o’qini to’g’ri chiziqqa parallel o’tkazib, tekislikning nuqtasidan nuqtagacha bo’lgan masofani bilan, to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofaga bilan belgilasak,

tenglikdan

tenglamani olamiz.