Департамент образования Тверской области

Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y линейная, определить значения коэффициентов a₀ и а₁:

х	1	4	7	11	15	17	22
Y	3	6	10	14	18	24	30

Решение. Для определения величин a₀ и а₁ необходимо вычислить следующие значения: х, Y, xY, х². Расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:

№ п/п	х	Y	х^2	xY
1	1	3	1	3	2,07
2	4	6	16	24	5,92
3	7	10	49	70	9,77
4	11	14	121	154	14,91
5	15	18	225	270	20,05
6	17	24	289	408	22,61
7	22	30	484	660	29,03
Итого	77	105	1185	1589	104,36

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a₀=0,876, а₁=1,284. Следовательно, =0,876+1,284х. Т.к. а₁>0, связь между признаками прямая (в случае обратной связи коэффициент регрессии отрицательный). При увеличении х на единицу, - увеличивается на 1,284. Линейную модель удобно представлять графически:

Практическая работа №15 «Расчёт сводных характеристик выборки методом сумм».

Однофакторная параболическая модель второй степени - параболическая регрессия применяется, если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный значительно быстрее. В этом случае уравнение регрессии будет иметь вид:
;
В данном случае задача сводится к определению неизвестных параметров: а₀, а₁,. Величину параметров a₀, а₁ и а₂ находим как решение системы нормальных уравнений:
,
Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y параболическая, определить значения коэффициентов a₀, а₁ и а₂:

х	1	2	3	4	5	7	10	14	17	23
Y	1	3	6	7	8	11	16	21	27	39

Решение. Для определения величин a₀, а₁ и а₂ необходимо вычислить следующие значения: х, Y, xY, х², х³, x⁴, х²Y. Расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:

№ п/п	х	Y	xY	х^2	х^2Y	х^3	x^4		= Y -
1	1	1	1	1	1	1	1	2,098	-1,098
2	2	3	6	4	12	8	16	3,488	-0,488
3	3	6	18	9	54	27	81	4,903	1,097
4	4	7	28	16	102	64	256	6,344	0,656
5	5	8	40	25	200	125	725	7,809	0,191
6	7	11	77	49	539	343	2401	10,815	0,185
7	10	16	160	100	1600	1000	10000	15,51	0,49
8	14	21	294	196	4116	2744	38416	22,13	-1,13
9	17	27	459	289	7803	4913	83521	27,36	-0,36
10	23	39	897	529	20631	12167	279841	38,5	0,5
Итого	86	139	1980	1218	35058	21392	415258

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a₀=0,734, а₁=1,352, а₂=0,0126. Следовательно, уравнение регрессии имеет вид: =0,734+1,352х+0,0126х². Из таблицы видно, что вычисленные по уравнению регрессии значения незначительно отличаются от эмпирических данных.
Оценка обратной зависимости между Y и x, может быть дана на основе уравнения гиперболы:
Величину параметров a₀ и а₁ находим как решение системы нормальных уравнений:
,
Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y выражается уравнением гиперболы, определить значения коэффициентов a₀ и а₁:

х	1	3	4	6	7	9	10
Y	14	11	11	9	8	7	5

Решение. Для определения величин a₀ и а₁ расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:

№ п/п	х	Y	1/х	Y/х	1/х^2		i
1	1	14	1	14	1	9,73	4,27
2	3	11	0,33	3,67	0,11	9,26	1,74
3	4	11	0,25	2,75	0,062	9,20	1,80
4	6	9	0,67	1,5	0,028	9,13	-0,13
5	7	8	0,14	1,14	0,02	9,12	-1,12
6	9	7	0,11	0,78	0,012	9,10	-2,1
7	10	5	0,10	0,5	0,01	9,09	-4,09
Итого	40	65	2,6	24,34	1,242	64,63

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a₀=9,02, а₁=0,71. Следовательно, уравнение регрессии имеет вид: =9,02+0,71/х.

Самостоятельная работа.

Выполняется в виде семестрового задания. Выдаётся после изучения первых двух разделов и в оформленном виде сдаётся в конце семестра. В задание включены 12 задач по изученным темам и основным формулам теории вероятности.
Система оценки работы:

№ задачи	Набираемый балл	Шкала перевода баллов в оценки
1	1	менее 9	2 (неуд)
2	2
3	2
4	2	9-12	3 (удовл.)
5	1
6	2
7	2	13-16	4 (хорошо)
8	2
9	1
10	1	17-20	5 (отлично)
11	2
12	2
всего	20

Данные своей задачи взять из таблицы по номеру, соответствующему порядковому номеру в группе.


ЗАДАЧИ для самостоятельной работы:

1. 
   В книжной лотерее разыгрывается n книг. Всего в урне имеется N билетов. Первый подошедший к урне вынимает билет. Определить вероятность того, что билет окажется выигрышным.
   

2. 
   В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что её любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной а.
   

3. 
   Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны р₁ и р₂. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик, и вероятность того, что при пожаре сработает ровно один датчик.
   

4. 
   В тире имеется 5 различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0.5, 0.55, 0.7, 0.75 и Р. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки? Попадание произошло. Чему равна вероятность того, что была выбрана первая винтовка?
   

5. 
   Вероятность того, что баскетболист при броске попадёт в корзину, равна р. Определить вероятность того, что, сделав n бросков, он m раз попадёт.
   

6. 
   Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна 0р. Определить вероятность того, что в партии из N деталей будет: ровно 3 бракованных; не более 3-х.
   

7. 
   В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. найти вероятность того, что число одновременно включённых ламп будет заключено между m₁ и m₂.
   

8. 
   Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно два вызова; более двух.
   

9. 
   Случайная величина X задана рядом распределения:
   

xi	-1	0	1
pi	p	1-2p	p

Найти Р{X<0}, P{X>-1}, P{-1

10. 
    Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=2X+3 (X задана в предыдущей задаче).
    

11. 
    Ошибка взвешивания – случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратическим отклонением, равным n грамм. Найти вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю N грамм.
    

12. 
    Проверив n изделий в партии, обнаружили, что m изделий высшего сорта, а n-m – нет. Сколько надо проверить изделий, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0,01?