Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Ё75. Kvant mexanikasının postulatları
|
Шякил qaydası üzrə -i f '
-ə çevirir. Yuxarıda deyilənlərdən aydın olur ki, (74.37) ifadəsində
460
( ) ( ) ( ) α δ ψ ψ α , ' x x x x e n n n n − = ∑ ∗ − (74.39) cəmi "yayılmış" δ –funksiya adlana bilər. "Yayılmış" δ –funksiyanın qrafiki 74.1 şəklində verilmişdir. (74.39) cəmini yığıla bilən edən digər vuruqlar da daxil etmək olar. Son nəticədə, yəni inteqrallamadan sonra α =0 götürüldüyündən, bu vuruğun daxil edilməsi müxtəlif üsullarla ola bilər. Məsələn, sərbəst hərəkət edən hissəcik üçün Şredinger tənliyinin həlli zamanı bu haqda konkret misal göstərəcəyik (Ё85).
Məlumdur ki, müxtəlif nəzəriyyələr isbatsız qəbul olunan müəyyən müddəalar əsasında qurulur. Buna misal olaraq Evklid həndəsəsinin əsaslandığı aksiomları, molekulyar-kinetik nəzəriyyənin əsas müddəalarını və s. göstərmək olar. Kvant mexanikası da müəyyən postulatlar (isbatsız qəbul olunan təkliflər) üzərində qurulur. Belə ki, bütün kvant nəzəriyyəsi bu postulatlara əsaslanaraq şərh olunur və nəhayət, təcrübədə yoxlanıla bilən nəticələr alınır. Təcrübədə yoxlamanın nəticələrindən asılı olaraq nəzəriyyə ya qəbul olunur, ya da ki, rədd edilir. Kvant mexanikasına aid olan dərs vəsaitlərində postulatların sayı müxtəlifdir və bəzi kitablarda bu postulatlar heç ayrıca verilmir. Ona görə də həmin postulatların konkret sayını göstərməyərək biz belə hesab edirik ki, kvant mexanikasını müasir şəkildə şərh etmək üçün aşağıda verilən postulatlara əsaslanmaq olar. 1-ci postulat. Sistemin istənilən halı koordinatlardan və zamandan asılı olan və dalğa funksiyası (hal funksiyası) adlanan ( )
r r r N ; ,..., , 2 1 r r r ψ funksiyası ilə tam təsvir olunur. Dalğa funksiyası və onun xassələri Ё72-də ətraflı şərh olunmuşdur. Ё73-də isə qeyd olunmuşdur ki, kvant mexanikasında istifadə olunan məxsusi funksiyalar standart şərtləri ödəyən, yəni Q sinfinə mənsub olan funksiyalar olmalıdır. ( )
t r , r ψ hal funksiyası baxılan kvant mexaniki sistem üçün Şredinger tənliyinin (Ё71) həllidir. 2-ci postulat. Kvant mexanikasında hər bir L fiziki kəmiyyəti müəyyən xətti özünəqoşma (ermit) operatoru ilə xarakterizə olunur. Lˆ Xətti və özünəqoşma operatorlar və onların mühüm xassələri haqqında Ё73-də bəhs edilmişdir. 3-cü postulat. Əgər sistemin halını təsvir edən ( )
r ψ hal funksiyası bu sistemi xarakterizə edən hər hansı L fiziki kəmiyyətinə uyğun olan operatorunun məxsusi funksiyasıdırsa, yəni
λψ ψ = Lˆ
(75.1) şərti ödənirsə, bu fiziki kəmiyyətin yeganə mümkün olan qiymətləri həmin operatorun λ
Məhz buna görə də kvant mexanikasında fiziki kəmiyyətlər ixtiyari operatorlarla deyil, məxsusi qiymətləri həqiqi ədədlər olan özünəqoşma (ermit) operatorlarla xarakterizə olunur. Üçüncü postulatla əlaqədar olaraq aşağıdakıları qeyd etmək vacibdir. Bu postulata
461
görə əgər sistemin hal funksiyası operatorunun məxsusi funksiyasıdırsa, yəni Lˆ n n n L L ψ ψ = ˆ
(75.2) tənliyi ödənirsə, onda ölçmə zamanı L fiziki kəmiyyəti üçün tamamilə müəyyən L=L n
qiyməti alınır. Lakin sistemin baxılan halını təsvir edən ψ dalğa funksiyası
operatorunun məxsusi funksiyası deyildirsə, yəni (75.2) tənliyi ödənmirsə, onda ölçmə nəticəsində L fiziki kəmiyyəti üçün operatorunun L Lˆ Lˆ 1 , L 2 , …, L k məxsusi qiymətlərindən biri, o cümlədən L=L
qiyməti də alına bilər. Deməli, bu halda L fiziki kəmiyyəti üçün L n
qiymətinin alınması ehtimalından danışmaq olar. Bu ehtimalı müəyyən etmək üçün isə kvant mexanikası təsəvvürlərinə əsasən fiziki kəmiyyətin orta qiymətinin necə təyin olunduğunu bilmək lazımdır. Bu məqsədlə aşağıdakı teoremi isbat edək. Teorem. Sistemin ψ funksiyası ilə təsvir olunan halında operatoru ilə xarakterizə olunan L fiziki kəmiyyətinin orta qiyməti Lˆ ∫ ∫ ∗ ∗ = τ ψ ψ τ ψ ψ d d L L
ˆ
(75.3) düsturu ilə təyin olunur. Əgər ψ dalğa funksiyası normalanmışdırsa, yəni (75.3) ifadəsində məxrəc 1-ə bərabərdirsə, ∫ ∗ = τ ψ ψ d L L
ˆ
(75.4) olar. (75.3) və (75.4) ifadələrində inteqrallama asılı olmayan dəyişənlərin bütün dəyişmə oblastı üzrə aparılır. Fərz edək ki, kvant mexaniki operatoru üçün (75.2) şərti ödənir. Müəyyənlik olması naminə belə hesab edək ki, operatorunun spektri, yəni L Lˆ Lˆ n məxsusi qiymətləri diskretdir və hər bir L
məxsusi qiymətinə bir dənə ψ
məxsusi funksiyası mənsubdur (cırlaşma yoxdur). ψ
məxsusi funksiyaları tam sistem əmələ gətirdiyindən (Ё73), ψ
funksiyasını aşağıdakı sıra kimi göstərə bilərik. ∑ = n n n c ψ ψ ,
(75.5) ∫ ∗ = τ ψ ψ d c n n .
(75.6)
462
Superpozisiya prinsipinə (Ё72) əsasən biz deyə bilərik ki, baxılan sistemin ψ dalğa funksiyası ilə təsvir olunan halı L fiziki kəmiyyətinin L n qiymətlərini ala bildiyi halların superpozisiyası kimi göstərilmişdir. Özü də (75.5) ayrılışında c
əmsalı
ψ funksiyası ilə təsvir olunan halda ψ
halının təmsil olunması ehtimalını müəyyən edir. Başqa sözlə, c
əmsalı, ψ dalğa funksiyası ilə təsvir olunan halda yerləşən sistemdə L fiziki kəmiyyətini ölçərkən L=L
qiymətinin alınması ehtimalını xarakterizə edir. Ё72-də göstərildiyi kimi, bu ehtimalın c
əmsalının modulunun kvadratına 2
Beləliklə, ψ halında olan sistem üzərində ölçmələr apardıqda L fiziki kəmiyyəti üçün L n
qiymətinin alınması ehtimalını tapmaq istəyiriksə, biz ψ funksiyasını operatorunun məxsusi funksiyaları üzrə sıraya ayrılmalı və bu sırada uyğun
əmsalının modulunun kvadratını 2
c həmin ehtimala bərabər götürməliyik. Əgər
operatorunun spektri kəsilməzdirsə, yəni L fiziki kəmiyyəti kəsilməz qiymətlər alarsa, onda ψ funksiyasının məxsusi funksiyalar üzrə ayrılışı cəm şəklində olmayıb, inteqral şəklində verilməlidir: Lˆ ( )
( ) x L x L L L ψ ψ = ˆ ,
(75.7) ( )
( ) ( ) ∫ = dL x L c x L
ψ ψ . Burada c(L) əmsalları diskret spektr halındakına (Ё73) oxşar olaraq tapılır. Belə ki, (75.7) bərabərliyinin hər iki tərəfini ( )
∗ ' ψ funksiyasına vuraraq, asılı olmayan dəyişənlərin bütün dəyişmə oblastı üzrə inteqrallama aparsaq ( ) ( )
( ) ( ) ( )
∫ ∫ ∫ ∗ ∗ = τ ψ ψ τ ψ ψ d x x dL L c d x x L L L
' '
olar. ψ
(x) məxsusi funksiyalarının δ –funksiyaya (Ё74) normallandığını fərz etsək ( ) ( )
( ) '
' L L d x x L − = ∫ ∗ δ τ ψ ψ
(75.8) və ( ) ( )
( ) ( )
L L L c d x x L
'
' − = ∫ ∫ ∗ δ τ ψ ψ
yaza bilərik ki, buradan da ( ) ( ) ( )
∫ ∗ = τ ψ ψ d x x L c L
(75.9) alınır. Lˆ operatorunun spektri kəsilməz olduqda sistemin ψ halında ölçmə apardıqda L fiziki kəmiyyəti üçün (L, L+dL) intervalında qiymətin alınması ehtimalından danışmaq olar və bu ehtimal ( )
2 =
(75.10) kimi təyin olunur. Qeyd edək ki, ψ funksiyası kvadratik inteqrallana biləndirsə və operatorunun Lˆ
463 məxsusi funksiyaları (73.35) və ya (75.8) ortonormallıq şərtini ödəyirsə, L fiziki kəmiyyətinin ölçülməsi zamanı onun verilmiş qiymətləri alması ehtimalları aşağıdakı şərtləri ödəməlidir: 1 2 = ∑
c ,
(75.11) ( ) 1
= ∫
L c .
(75.12) Bu ifadələr ehtimal nəzəriyyəsi baxımından aydın olsa da, misal olaraq, (75.12)-ni isbat edək:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) . 1
2 = = = = = = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ τ ψ ψ ψ τ ψ τ ψ ψ
x x dL x L c d x d x x dL L c dL L C L c dL L c L L (75.13) İndi isə fərz edək ki, sistemin halını təsvir edən ψ funksiyası bu sistemi xarakterizə edən L fiziki kəmiyyətinə uyğun olan operatorunun məxsusi funksiyası deyildir. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, bu, o deməkdir ki, həmin halda L fiziki kəmiyyətini ölçərkən müəyyən bir qiymət alınmır, yəni ölçmələr zamanı müəyyən ehtimalla ixtiyari
məxsusi qiyməti alına bilər. Bununla əlaqədar olaraq sistemin ψ funksiyası ilə təsvir olunan halında L fiziki kəmiyyətinin yalnız orta qiyməti haqqında danışmağın mənası vardır və bu orta qiyməti tapmaq lazımdır. Məlumdur ki, müəyyən kəmiyyətin orta qiyməti dedikdə orta hesabi (riyazi gözlənilən) qiyməti başa düşülür. Sistemin tamamilə eyni olan çoxlu sayda nüsxələrinə, yəni ansambla baxaq. Bu sistemlərin hamısı eyni bir ψ dalğa funksiyası ilə təsvir olunur. Bu sistemlərin hər birində L fiziki kəmiyyətini ölçək. Onda bu ölçmələr çoxluğundan alınan orta qiymət L kəmiyyətinin orta qiyməti adlandırılır. L kəmiyyətini ölçərkən L=L n məxsusi qiymətinin alınması ehtimalını W
ilə işarə etsək, ehtimal nəzəriyyəsinin ümumi düsturlarına əsasən L-in orta qiyməti üçün ∑ = n n n L W L
(75.14) yaza bilərik. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, operatorunun diskret spektri üçün
2
n c W =
olduğunu nəzərə alsaq L-in orta qiyməti üçün ∑ = n n n L c L 2
(75.15) və kəsilməz spektr üçün isə (75.10)-u nəzərə alsaq ( )
∫ =
L c L 2
(75.16) ifadəsi alınır. (75.15) və (75.16) düsturlarını elə şəklə salmaq əlverişlidir ki, onlarda ψ dalğa
funksiyasının operatorunun məxsusi funksiyaları üzrə ayrılışının əmsalları əvəzinə bilavasitə ψ funksiyasının özü iştirak etsin. Bu məqsədlə əvvəlcə operatorunun diskret spektrə malik olduğu hala baxaq. c Lˆ Lˆ n əmsalları üçün (75.6) ifadəsindən istifadə edərək (75.15)-i aşağıdakı kimi çevirək:
464 ( ) τ ψ ψ d x L c L c c L n n n n n n n n ∗ ∗ ∫ ∑ ∑ = =
ψ
(
τ ψ ψ τ ψ ψ d c L d L c L n n n n n n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = ∑ ∫ ∫ ∑ ∗ ∗ ˆ ˆ
kimi yazmaq olar. (75.5)-i burada nəzərə alsaq τ ψ ψ d L L
ˆ ∫ ∗ =
olar. Lˆ operatorunun spektri kəsilməz olduqda (75.9) və (75.7) düsturlarını nəzərə almaqla, (75.16) ifadəsini diskret spektr üçün olan haldakına oxşar olaraq, aşağıdakı kimi çevirək: ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
ˆ
ˆ
ˆ
2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = = = = = = = = = τ ψ ψ ψ τψ τ ψ ψ τ ψ ψ τ ψ ψ d L dL x L c L x d d x L x L dLc d x L x L dLc d x x L L dLc LdL L c L c LdL L c L L L L L
Beləliklə, biz (75.4) düsturunu isbat etmiş oluruq. Yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi, (75.4) düsturu ψ dalğa funksiyası normallaşmış olan hal üçündür. Əgər ψ funksiyası normallaşmamışdırsa, onda (75.4) düsturu daha ümumi şəkildə, yəni (75.3) kimi yazılmalıdır. Doğrudan da ehtimal nəzəriyyəsindən məlumdur ki, hər hansı f kəmiyyəti f 1 , f 2 , …, f k qiymətlərini ala bilirsə və onun bu qiymətləri alması ehtimalları, uyğun olaraq, w 1 , w 2 , …, w k olursa, onda həmin f kəmiyyətinin orta qiyməti ∑ ∑
i i i i i w w f f
(75.17) kimi təyin olunur. Bu ifadəni inteqral şəklində aşağıdakı kimi yazırlar: ( )
( ) ∫ ∫ = b a b a df f w df f fw f .
(75.18) Burada w(f) – ehtimal sıxlığıdır. Əgər ehtimal sıxlığı 1-ə normalanmışdırsa,
və ya buna oxşar olaraq ( ) 1 = ∫ b a df f w 1 = ∑ i i w olur.
Əgər sistemin halını təsvir edən ψ dalğa funksiyası operatorunun məxsusi funksiyası olarsa, yəni şərti ödənərsə, L kəmiyyətini ölçərkən, 3-cü postulata uyğun olaraq, tamamilə müəyyən və L Lˆ ψ ψ m L L = ˆ m məxsusi qiymətinə bərabər olan L=L m qiyməti alınır. Bu halda, gözlənildiyi kimi, (75.3) və (75.4) düsturlarına əsasən L kəmiyyətinin
465 orta qiyməti L m məxsusi qiymətinə bərabər olur: m L L = . Sistemin halını təsvir edən ψ dalğa funksiyası operatorunun məxsusi funksiyası deyildirsə, ölçmə zamanı L fiziki kəmiyyəti üçün bir dənə müəyyən L Lˆ n qiyməti deyil, müxtəlif L 1 , L 2 , …, L k qiymətləri alınır ki, bu qiymətlərin içərisində L=L n qiyməti də ola bilər. L kəmiyyəti üçün diskret spektr halında L=L
qiymətinin alınması ehtimalı (75.15) düsturuna əsasən 2
C , kəsilməz spektr halında (L, L+dL) intervalında qiymətin alınması ehtimalı isə (75.16) düsturuna əsasən ( )
2 olur. Doğrudan da, orta qiymətin hesablanması haqqında yuxarıda isbat etdiyimiz teoremə əsasən diskret spektr üçün ∑ ∑ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∑ ∫ = = = = = = = = = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n L c L c c L c c d L c c d L c c d c L c d L L , ˆ ˆ
ˆ 2 ' , ' ' ' ' ' , ' ' ' ' , ' ' ' ' δ τ ψ ψ τ ψ ψ τ ψ ψ τ ψ ψ (75.19) analoji olaraq kəsilməz spektr üçün isə ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = = − = = = = = = = = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ LdL L c L Lc L dLc L L L L c dL L dLc d x x L L c dL L dLc d x L x L c dL L dLc dL x L c L dL x L c d d L L L L L L L L 2 ' ' ' ' ' ' '
' ' '
ˆ ' ' '
' ˆ
ˆ δ τ ψ ψ τ ψ ψ ψ ψ τ τ ψ ψ (75.20 ifadələrini yaza bilərik. (75.19) və (75.20) düsturlarında (75.5), (75.2), (73.35) və (75.7), (75.8) ifadələrindən istifadə edilmişdir.
Download 18.1 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|