Differenciallíq teńlemeler” kafedr

2§.Tardıń birtekli emes terbelis teńlemesi ushın aralas máselelerdi sheshiwdiń Fure usılı.
Ushlari bekkemlengen bir tekli tardiń sırtqı kushler tásirindegi májburiy terbelisi tómendegi aralas máselege ekvivalent keltiriledi
Bir tekli bolmaǵan

Tar terbelis teńlemesiniń (2) baslanǵısh hám bir tekli (3) shegaralıq shártlerdi qanaatlandiriwshi u(x,t) sheshimin tabıń.
Bul jerde tarǵa tásir etiwshi sırtqı kushler qosindisi.
Bul máseleniń u(x,t) sheshimin tómendegi

kóriniste izleymiz. Bul jerde v(x,t) funkciya bir tekli bolmaǵan

tar terbelis teńlemesiniń bir tekli baslanǵısh

hám shegaralıq

shártlerdi qanaatlandıratuǵın sheshimi;
w(x,t) funkciya bolsa bir tekli

teńlemeniń tómendegi baslanǵısh

hám shegaralıq

shártlerdi qanaatlandıratuǵın sheshimlerden ibarat.
Joqarıdaǵı máselelerden kórinip turıptı, v(x.t) funkciya ushlari bekkemlengen bir tekli tardiń g(x,t) sırtqı kushler tásirindagi májburiy shayqalıwın, w(x,t) bolsa sol tardiń erkin shayqalıwın ańlatadı. w(x,t) funkciyaǵa salıstırǵanda (23) - (27) másele sheshiminiń bar ekenligin aldınǵı punktte dálilledik.
Sol sebepli bul jerde (22)-(24) máseleniń v(x,t) sheshimin duziw jetkilikli bolıp tabıladı.
Bul máseleniń v(x,t) sheshimin tómendegi Qatar

kóriniste izleymiz. Bunda házirshe belgisiz funkciya. (28) qatardı jabıq D oblastta jiynaqli hám sol oblastta x hám t ózgeriwshiler boyınsha aǵzama-aǵza differenciallaw múmkin bolsın. Onda (28) qatar bir tekli shegaralıq shártlerdi qanaatlandiradi.
Bul qatardı (23) baslanǵısh shártlerge qoyıp, funkciyalar ushın tómendegi

baslanǵısh shártlerdi alamız.
Endi g(x,t) funkciyanı [0,l] segmentte x ózgeriwshige salıstırǵanda sinuslar boyınsha Fur'e qatarına yoyilsin.

Bunda koefficientler tómendegi

formula menen aniqlanadi.
funkciyalardı tabıw ushın (28) hám (30) ańlatpalardı (22) teńlemege qoyıp, usı

teńlemege iye bolamiz. Bunda .
(32) hám (28) jayilmalardi óz-ara salıstırıp, k nıń hár bir mánisinde sızıqlı ózgermeytuǵın koefficiyentli

ápiwayı differencial teńlemelerge iye bolamız.
Sonday eken, funkciyalardı tabıw ushın ekinshi tártipli (33) ápiwayı differencial teńlemeni (44) baslanǵısh shártlerdi aldıq. Bul máseleniń sheshimin ózgermeytuǵın variaciyalaw usılı járdeminde tabamız. Bir tekli (33) teńlemediń ulıwma sheshimi

bul jerde c₁, c₂ — qálegen ózgermeytuǵınlar.
Endi (33) teńlemeniń ulıwma sheshimin

kóriniste izleymiz.
Differencial teńlemeler kursinan belgili, hám belgisiz funkciyalarǵa salıstırǵanda tómendegi

teńlemeler sistemasına iye bólamiz. Bunnan hám funkciyalardı

kóriniste tabamız hám bul teńlemelerdi integrallap, c₁(t) hám c₂(t) funkciyalardı


kóriniste anıqlaymız. Bunda hám qálegen ózgermeytuǵınlar.
Tabılǵan c₁(t) hám c₂(t) funkciyalardı (34) formulaǵa qoyıp, (33) teńlemeniń ulıwma sheshimin

kóriniste tabamız. (29) baslanǵısh shártlerdi qanaatlandirip, (35) ulıwma sheshimnen ekenligin alamız.
Eger bolsa, onda (33) teńlemeniń (29) baslanǵısh shártlerdi qanaatlandıratuǵın sheshimi

formula menen anıqlanadı.
Endi (28) qatardıń jabıq oblastta tegis jiynaqli ekenligin hám de x hám t argumentleri boyınsha eki márte differenciallaw múmkinligin kórseteyik.
Eger g(x,t) funkciya jabıq D oblastta úzliksiz, sol oblastta x ózgeriwshi boyınsha úzliksiz eki márte differenciallaniwshi hám ushın g(0,t)=g(l,t)= 0 bolsa, onda (31) ańlatpanı eki márte bóleklab integrallaymız, nátiyjede

ańlatpanı alamız, bunda

Úzliksiz funkcivalardiń kvadratınan dúzilgen funkcianal qatar

Bessel teńsizligine tiykarlanıp jiynaqli qatar boladı. Endi (37) ańlatpanı (36) formulaǵa qoyamız hám usı

kóriniste jazıladı. Payda bolǵan aqırǵı ańlatpanı bolsa (28) formulaǵa qoysaq,

ańlatpaǵa iye bólamiz. Bul qatardıń hár bir aǵzası bolǵanda usı

sanlı qatardıń hár bir aǵzası menen shegaralanǵan.
Bunda | afc (tap)| = m a x ja fc (f)|, bazıbır fiksirlengen noqat.
Sonıń ushın (39) qatar D oblastta absolyut hám tegis jiynaqli qatar bodadi.
Endi (39) qatardı aǵzama-aǵza eki márte x hám t ózgeriwshileri boyınsha differenciallaymiz, nátiyjede usı





qatarlardı alamız. Bizge belgili, bul qatarlar de tómendegi qatarlarǵa

majorantlanadi. Bul qatarlardıń jiynaqliliǵi (38) qatardıń jiynaqliliǵinan hám

teńsizlikten kelip shıǵadı.
Onda (40) hám (41) qatarlar oblastta absolyut hám tegis jiynaqli boladı, bunnan bolsa de hám tuwındılardıń úzliksiz ekenligi kelip shıǵadı.
Endi (40) hám (41) ańlatpalardı (22) teńlemege qoysaq, (28) formula menen anıqlanǵan v(x,t) funkciya bir tekli bolmaǵan tar terbelis teńlemesin qanaatlandiriǵwa iseniw múmkin.
Sonday etip, tómendegi teoremani dálilledik:
2-TEOREMA. Eger hám funkciyalar 1-teoremaniń shártlerin qanaatlandirsa hám g(x,t) funkciya jabıq D oblastta úzliksiz, usı oblastta ekinshi tártipli úzliksiz tuwındılarǵa iye bolıp, teńlikler orınlı bolsa, onda {(24), (2), (3) } máseleniń birden-bir sheshimi bar hám bul sheshim

formula menen anıqlanadı. Bunda




Sonday eken, v(x,t) funkciya (28) qatar kórinisinde onıń koefitsiyentlari (31), (35) formulalar arqalı, u(x,t) funkciya bolsa (9) kóriniste hám onıń koefficiyentleri (10) formula menen anıqlanadı.