Дифференцируемость отображений в геометрии многообразий карно

§1. Локальная геометрия многообразий Карно
1.1. Определение многообразий Карно. Фиксируем связное риманово многообразие М размерности N класса . Оно называется многообразием Карно, если в касательном расслоении ТМ фиксировано касательное подрасслоение НМ, обладающее следующим свойством. Существует конечный набор натуральных чисел и каждая точка имеет окрестность , на которой найдутся гладкие векторные поля X₁,…,X_N , удовлетворяющие условию Хёрмандера (22, 2, 4, 6) в следующей форме:

образует подпространство в размерности , не зависящей от
3) если степень поля это число , то

где )=0 для
4) фактор-отображение: , индуцированное скобкой Ли, является эпиморфизмом для всех в каждой точке .
5)
Примеры векторных полей с вышеуказанными условиями см. в (16).
1.2. Нормальные координаты. Пусть открытый евклидов шар с центром в точке определяется римановым тензором). Известно (см., например, (23)), что отображение

является С^М – гладким диффеоморфизмом некоторого шара на некоторую окрестность точки , непрерывно зависящим от точки . Здесь – положительное число, его можно считать не зависящим от из некоторой компактной части М. Отметим, что .
Определение 1.1 Набор чисел и , называется нормальными координатами точки .
Замечание 1.1. Понятно, что каждая точка принадлежит некоторой компактно вложенной области – компактное множество) такой, что для каждой точки .
1.3. Квазиметрика. Фиксируем точку . Из определения области (см.замечание 1.1) вытекает, что для любых точек найдется единственный набор чисел . Квазиметрика между точками определяется как неотрицательная величина

В дальнейшем шар радиуса r в квазиметрике обозначается символом .
Свойство 1.1. (20, 21). Квазиметрика обладает следующими свойствами:
0 тогда и только тогда, когда u = v;

3) квазиметрика непрерывна по каждой из переменных;
4) существует постоянная Q=Q(U) такая, что для каждой тройки точек выполняется неравенство
С помощью нормальных координат определим в окрестности точки действие группы растяжений сопоставим

в тех случаях, когда правая часть имеет смысл. Из определения квазиметрики получаем