Дифференцируемость отображений в геометрии многообразий карно

Свойство 1.4. 1. Для любого имеем место равенство .
2. Однопараметрическая группа растяжений на совпадает с группой растяжений для любого , для которого определены левая и правая части равенства. В частности, .
1.5. Локальная геометрия многообразия Карно. Далее будем использовать следующее соответствие: любым элементу и точке сопоставим элемент

для тех , для которых существует правая часть (1.5).
Теорема 1.2. (14-16). Рассмотрим в сопоставим определяемый по индукции элемент , где для всех . Тогда

где О равномерное относительно выбора из компактного множества в М при условии ограниченности S и по .
Теорема 1.3. (14-16). Рассмотрим точки , где . Тогда

где О равномерное по и из компактного множества в М.
В этой работе нам потребуется лишь о( в правой части вместо . Мы докажем здесь вторую теорему, доказательство первой основано на сходных рассуждениях.
Доказательство. Чтобы доказать соотношение предложим противное. Тогда мы имеем некоторое число , а также последовательности чисел и точек таких, что

При этом можно предполагать, что последовательности сходят. По свойству 1.1 имеем . Тогда можно записать

где по свойству 1.3.
Отсюда . Следовательно, равно - расстоянию между точками относительно базиса . С другой стороны, по теореме 1.1 и непрерывной зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметра имеем
1.6. Выбор метрики. В настоящей работе мы фиксируем на многообразии Карно псведометрику удовлетворяющую следующим свойствам:
1) тогда и только тогда, когда ;
2) для каждого множество открыто,
3) существует постоянная С такая, что для каждой тройки точек выполняется неравенство

4) для метрики справедлива Ball-Box теорема: для любого компакта существуют постоянные справедливы соотношения

5) риманова мера m на М удовлетворяет условию удвоения: для точек компакта , не зависит от выбора .
На основании соотношения

справедливого для точек некоторой компактной окрестности (4), и (1,7) получаем, что топологии, задаваемые римановой метрикой , квазиметрикой и псевдометрикой , совпадают.