Differensial hisobning asosiy teoremalarining tatbiqlari. Lopital qoidalari

Differensial hisobning asosiy teoremalarining tatbiqlari. Lopital qoidalari
Reja.

1. 
   Differensial hisobning asosiy teoremalarining tatbiqlari
   
2. 
   Aniqmaslikalarni ochish. Lopital qoidasi.
   

1. 
   teorema (Ferma teoremasi). ^f (^x) funksiya biror x oraliqda aniqlangan va bu oraliqning ichki c nuqtasida uzining eng katta (eng kichik) qiymatiga erishsin. Agar bu nuqtada funksiya chekli f '(c) hosilaga ega bo‘lsa, u holda
   

f '(c) = 0
bo‘ladi.
Ferma teoremasi sodda geometrik ma’noga ega. U f (x) funksiya grafigiga (с, f (c)) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning Ox o‘qiga parallel bo‘lishini ifodalaydi.

1. 
   eslatma. f (x) funksiya [a,b]segmentda aniqlangan bo‘lib, bu segmentning chetki (x=a yoki x = b) nuqtasida o‘zining eng katta yoki eng kichik kiymatiga erishsin deylik. Bu nuqtada funksiya xosilaga (ravshanki, bu xolda bir tomonlama f (a + 0), f' (b - 0) xosilalar tushuniladi) ega bulsa, funksiyaning xosilasi nolga teng bo‘lmasdan qolishi mumkin.
   
2. 
   teorema (Roll teoremasi). F (x) funksiya [a, b] segmentda aniqlangan, uzluksiz va f (a) = f (b) bo‘lsin. Agar bu funksiya (a, b) intervalda chekli f'( x) hosilaga ega bo‘lsa, u holda shunday c(a < c < b) nuqta topiladiki,
   

f' (c) = 0
bo‘ladi.
f(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirsin. U holda bu funksiya tasvirlagan egri chiziqda shunday (с, f (c)) nuqta topiladiki, egri chiziqqa uning bu nuqtasida o‘tkazilgan urinma Ox o‘qiga parallel bo‘ladi.

2. 
   eslatma. Roll teoremasining barcha shartlari muhim. Agar keltirilgan shartlarning birortasi bajarilmasa, teoremaning xulosasi о‘ппЬ bо‘lmasdan qolishi mumkin. Masalan, 1. f(c) = 1 — x| funksiya [-l;+l] segmentda uzluksiz bо‘lib, bu
   

funksiya uchun f (-1) = f (+1) = 0 Ьо‘Шг Ammo bu funksiyaning hosilasi (-l;+l) intervalning birorta nuqtasida ham nolga aylanmaydi. Bunga sabab qaralayotgan funksiyaning (-l;+l) intervalning hamma nuqtalarda hosilaga ega emasligidir. Aniqrog‘i, f (x) = l-\x| funksiya x = 0 nuqtaga ega emas.

3. 
   teorema (L a g г a n j teoremasi). f (x) funksiya [a, b]segmentda aniqlangan va uzlukziz bo‘lsin. Agar bu funksiya (a, b) intervalda chekli f(x) xosilaga ega bo‘lsa, u holda shunday c(a < c < b) nuqta topiladiki, bu nuqtada
   

_{Лс) =} f (a) - f (b)
a - b
bo‘ladi.

4. 
   teorema (Koshi teoremasi). f (x) va g(x) funksiyalar [a, b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Agar bu funksiyalar (a,b) intervalda chekli f'(x) va g'^{( x)} hosilalarga ega bo’lib, Vx e (a,b) uchun g’(x) ф 0 bo‘lsa, u holda shunday c(a < c < b) nuqta topiladiki,
   

f (b) - f (a) f '(c) g^{(b) -} g^(a) g ’^(c)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.

1. 
   misol. Ushbu f (x) = Vx²-1 funksiya (-1;1) oraliqning ichki x = 0 nuqtasida
   

o’zining eng kichik qiymatiga erishsa ham, bu funksiya uchun Ferma teoremasining xulosasi o’rinli emasligini isbotlang.
Berilgan funksiya x = 0 nuqtada o’zining eng kichik qiymatiga erishadi. Biroq lfunksiya shu x = 0 nuqtada chekli hosilaga ega emas. Bu ushbu
f0) ₌ ^f (^Ax)~ ^f (^x) _ VAx^_ 1
Ax Ax Ax VAx
nisbatning Ax ^ 0 da chekli limitga ega emasligidan kelib chiqadi. Demak, Ferma teoremasining xulosasi o’rinli emas.

2. 
   misol. Ushbu f (x) = sinx funksiya uchun [0,2^] segmentda Roll teoremasining shartlari bajariladimi?
   

Ravshanki f (x) = sinx funksiya [0,2^] segmentda uzluksiz hamda f '(x) = sin x = cos x hosilaga ega. Bu funksiyaning [0,2^] segmentning chetki nuqtalarining qiymatlari f (0) = f (2ж) = 0 bo’lib ular bir biriga teng. Demak berilgan funksiya [0,2^] segmentda Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi.
jz 3
[0,2^] segmentning c =—,^ =-j nuqtalarida funksiyaning hosilalari nolga aylanadi.
j 3 J
^f '^(c1⁾ = ^cos — = ^{0 , f ,(c}₂⁾ = ^COs"^ = ⁰ .
тс

3. 
   misol. Ushbu f(x) = xsin—,f(0) = 0(0

aylantirilgam nuqtalardan tuzilgan [c_n} ketma- ketlikning limiti nol bo’lishini ko’rsating.








segmentlarga ajratamiz Har bir ^{1 1}

n +1 n
barcha shartlarini qanoatlantiradi. Binobarin

segmentda (n = 1,2,...) f (x) funksiya Roll teoremasining
1 1

shunday c nuqta

1 1
< c < —
n +1 n

n +1 n _ topiladiki f'(c) = 0 bo’ladi.

segmentda (n = 1,2,...)
Ravshanki berilgan funksiya [0,1] segmentda uzluksiz, (0,1) intervalda hosilaga ega va f (0) = f (1) = 0. Demak funksiya [0,1] segmentni quyidagi

^,1	" 1 1'		' 1 1"
L 2 _	L 3^,2 _		_ n +1’ n _

1 1
< c < —
n +1 n

(n = 1,2,...)
Agar
va
1 1 lim— = lim = 0
^x n ^x n + 1
bo’lishini etiborga olsak, u holda
lim c = 0
n
x^m
ekani kelib chiqadi.

4. 
   misol. Agar f (x) funksiya:
   

1. [a, b\ segmentda aniqlangan va uzluksiz;

2. 
   (a, b) intervalda n - tartibli hisilaga ega;
   
3. 
   ushbu x,x₂,. .,x„ i(a x₂ <... < x^j

^{f (a)} = ^{f (x}1⁾ = ^{f (x}2⁾ = ^{f( x}n-1) = ^{f (b)} = ⁰
bo’lsa u holda (a, b) da kamida bitta c nuqta topiladiki
f⁽ⁿ⁾(c) = 0
bo’ladi, shuni isbotlang.
[a, b\ segmentni yuqorida aytilgan x₃, x₂,..., x_n__x nuqtalar yordamida n ta
\a, x J,[ Xy, x₂],...,[ x n—i^{, b]}
segmentlarga ajratamiz. f (x) funksiya har bir segmentda Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Unda Roll teoremasiga ko’ra shunday c, c,..., c nuqtalar
(a ,x ₂,...,x_n_y n topiladiki,