Differensial hisobning asosiy teoremalarining tatbiqlari. Lopital qoidalari

жж
x—— V
2 2x 2 ^x ₀
cos 2

Keyingi limit 0 ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib,
/1 (^x)^{- cos2 x}, gi (^x)^{- x}
funksiyalar 5-teoramaning barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shu teoremaga asosan:
cos² x 2cos x (-sin x)
lim lim :

\^ci, ^c2 ^], \^c2, ^c3 ^], ”, \^cn—1, ^cn ^] 5
\^{f (X}2⁾ - ^{f (X}J = |^f '^(c)|| ^X2 - ^Xi 6
/1 (^x)^{- cos2 x}, gi (^x)^{- x} 14
/w 16
g (^x) 16
-1 17

Demak 7-teoremaga ko‘ra

ln

lim-
ж
x——
2
x
2
tgx

3°. Boshqa ko‘rinishdagi aniqmasliklar.
Malumki,
limf ( x) = 0, limg ( x) = да
x^a x^a
bo‘lsa, f (x )• g (x) ko‘paytma 0 -да ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, uni
/ (x )• g (x )=4^=41
g(^x) ^f(^x)
0 да
ko‘rinishida ifodalash orqali — yoki — ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirish
0да
mumkin
Shunday qilib funksiya hosilalari yordamida 0-да va да-да ko‘rinishidagi
0 да
aniqmasliklarni ochishda, ularni — yoki — ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirib
0да
so‘ngra yuqoridagi teoremalar qo‘llaniladi.
Malumki x ^ a da f (x) funksiya 1, 0 va да ga, g (x) funksiya esa mos
ravishda да ,0 va 0 ga intilganda [ f (x )]^g(x) darajali - ko‘rsatkichli ifodada 1^да ,0°, да°
ko‘rinishidagi aniqmasliklar kelishi mumkin. Bu ko‘rinishdagi aaniqmasliklarni ochish uchun avvalo
y = [ f ( x)]^g(
ifoda logarifmlanadi:
ln y = g ( x ) ln f ( x )

x ^ a da g ( x) ln f ( x) ifoda 0
да ko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalashi ravshan.







lim
x^-a

/w
g (^x)

= lim
x^-a

^f'(^x) g'(^x)

= lim
x^-a

g'(^x)
Izoh. Agar f (x) va g(x) funksiyalarning f'(x) va g'(x) hosilalari ham f (x) va g (x) lardek yuqorida keltirilgan teoremalarning barcha shartlarini qanoatlantirsa, u holda
tenglilar o‘rinli bo‘ladi, yani bu holda Lopigal qoidasini takror qo‘lllash mumkin bo‘ladi

11. 
    misol. Ushbu
    

lim (tgx )^tg2
П
%—­
4
limitni hisoblang .
Bu limit 1” ko‘rinishdagi aniqmaslik bo‘lib yuqorida aytilganlarga asosan:
у=(tgx T^{2 x}






limln у = lim

n
x —— 4

x —— 4

ln tgx
-1

n^{( t}g ^{2 x} )
ifodani logarifmlash natijasida

0
0
ko‘rinishidagi aniqmaslikka keladi. Endi Lopital qoidasini qo‘llasak:





(^{ln t}g^x) tgx cos² x . ₀ .
lim -p=r = lim ~ = -lim sin 2x = -1
(tg2x) ^{n 2 n}

x—— 4

cos²2x (tg 2 x )²

n
x—— 4
1 1






lim (tgx)

tg 2 x

1

n
x—— 4

e
Demak,
ekan.
Ajoyib limitlar.
, sinx cosx .

\^ci, ^c2 ^], \^c2, ^c3 ^], ”, \^cn—1, ^cn ^] 5
\^{f (X}2⁾ - ^{f (X}J = |^f '^(c)|| ^X2 - ^Xi 6
/1 (^x)^{- cos2 x}, gi (^x)^{- x} 14
/w 16
g (^x) 16
-1 17