Differensial hisobning asosiy teoremalarining tatbiqlari. Lopital qoidalari

f '(c) = f '(c₂) =... = f '(c_n) = 0
bo’ladi. Endi
\^ci, ^c2 ^], \^c2, ^c3 ^], ”, \^cn—1, ^cn ^]
segmentlarni qaraylik. Bu segmentlarning har birida f'( x ) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Roll teoremasiga muvofiq shunday
cl,c2,...,c_n—2 nuqtalar (c_y <cl <c₂,c₂ '_{2 3},...,c_{n—y n—y n}) topiladiki
f" (cl) = f'' (c2) =... = f'' (c„—i)
bo’ladi. Endi
\^ci , ^c2 ^], ^[c2 , ^c3^], . . ,\^cn—2 , ^cn—1 ^]




c,c,. .,c_n-₂ nuqtalar (c[ ₂,c_{2 2} <c₃,...,c

'n—2 < ^cn—2 < ^cn—1

) topiladiki
segmentlarni qaraylik. Bu segmentlarning har birida Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Roll teoremasiga ko’ra shunday nuqtalar topiladiki
f "(cl) = f "(c2) =... = f "(cn—2) = 0
bo’ladi.
Shu jarayonni davom ettirib (n—l) — qadamdan keyn \c⁽"^—y), c(^n—1)] segmentga kelamizki bu segmentda f^(n—1) (x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Unda Roll teoremasiga ko’ra shunday c nuqta (c^(n—1) < c < c^l₂^n—1)) topiladiki,
f⁽ⁿ⁾(c) = 0
bo’ladi

5. 
   misol. Agar f (x) funksiya (a, b) intervalda chekli f'(x) hosilaga ega bo’lsa uning shu intervalda tekis uzluksiz bo’lishini isbotlang.
   

Modomiki, f' (x) chekli ekan unda shunday o’zgarmas M > 0 son topiladiki Vx e (a, b) uchun |f'(x)| bo’ladi.
(a, b) intervalda ixtiyoriy x va x₂ nuqtalami olaylik: x, x₂ e(a, b). Unda Langarj teoremasiga ko’ra
\^{f (X}2⁾ - ^{f (X}J = |^f '^(c)|| ^X2 - ^Xi
bo’ladi.
Demak,
\^{f (X}2^{) - f (X}1⁾ < ^M|^X2 ^{- X}i .
Agar Vs > 0 olinganda ham a = deyilsa u holda
s s
|^X2 ^{- X}J <^a< —^^{f (X}2^{) - f (X}1⁾ < ^M 'Jj = ^S
bo’ladi
Bu esa f (x) funksiyaning (a, b) da tekis uzluksiz bo’lishini bildiradi.

6. 
   misol. Ushbu f (x) = x² + 3 funksiya [-1,2] Langarj teoremasining shartlarini bajaradimi?
   

Ravshanki berilgan funksiya [-1,2] segmentda uzluksiz va (-1,2) intervalda ^f' (^x ) = ^{2 x} hosilaga ega. Demak ^{f (x)} = ^x + ³ funksiya [-1,2] segmentda Langarj
teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Langarj teoremasiga ko’ra shunday c nuqta (-1 < c < 2) topiladiki
^{f (2) - f (-1)} = f '(c) = 2c




bo’ladi keyingi tenglikdan

c =

1 ekanligini topamiz.
2 - (-1)

7. 
   
   
   
   
   
   a - b
   a
   
   a
   < ln— <
   
   b
   
   a - b
   (0 < b < a)
   b
   misol. Ushbu
   

tengsizlikni isbotlang.
[b,a] segmentda f (x) = ln(x) funksiyani ko’raylik.Bu funksiya shu segmentda uzluksiz va (b,a) intervalda f '(x) =¹ hosilaga ega. Unda Langarj teoremasiga ko’ra
x
shunday c nuqta (b < c < a) topiladiki

a — b c

bo’ladi. Ravshanki

Demak,

1 ln a — ln b 1 < <■

a a — b b

Keyingi tengsizliklarda esa

a — b , a a — b
< ln — < ■

a b b
bo’lishi kelib chiqadi.
8-misol. Agar x > 0 bo’lsa u holda,

-v/x+1 —JX=—. ¹
2^J x + 6( x)

tenglikni isbotlang. Bunda

¹ < 6(x) <¹, lim 6(x) = lim 6(x) =¹
4 2 s^o 4 2

bo’lishini ham ko’rsating. Ushbu

^f (y⁾ = 4у

funksiyani [x, x +1] segmentda (x > 0) ga qaraylik. Bu funksiya shu segmentda
uzluksiz, (x, x +1) da f'(y) = TT= hosilaga ega. Unda chekli orttirmalar formulasi
²V y

F (t + At) — F (t) = F '(t + 6(t )At )At

ga ko’ra

f (x +1) — f (x) = f'(x + 0( x)) -1

ya ni

Vx + 1 —yfx = . ¹
2yJ x + 6( x)

bo’ladi. Bu tenglikni topamiz:

•\/x +1 + •\fx 2yj x + 0( x)

247Тт7) — у/ x + 1 + yfx


























Keyingi tenglikda esa

lim 6(x) = Г¹ + — (Jx(x -1) - x)] = ¹ sx—o 4 2 ^w 4

lim#( x) = lim
x—w x—w

1 ■_sjx(x -1) - x
4 2

0(x) funksiyaning

в^{( x})

1 1
- + —i=
4 _ 1

V ⁺ x ^{+ 2}

lim
x——w

1 x‘ + x - x‘

4 2(yj x( x +1) + x)

lim
x—w

ifodasidan uning (0, -w) oraliqda o’suvchi ekanligini topamiz. Demak

¹ < <9(x) < ¹ 4 2

bo’ladi.
9-misol. Ushbu

f (x) = e^x, g^,(x) =

2 x

(1 - x² )²

funksiyalar [-3,3] segmentda Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradimi? Bu funksiyalar [-3,3] segmentda uzluksiz, (-3,3)da
2x

f (x) = e^x, g^,(x) =

(1 - x² )²

hosilalarga ega. Biroq g' (o) = o. Demak f (x) va g(x) funksiyalar Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantirmaydi.
10-misol. Agar f (x) funksiya [x_x,x₂] segmentda (x_:,x₂ > o)
differensiyallanuvchi bo’lsa, u holda ushbu
= f (c) - cf "(c)

1	^x1 ^x2
^x1 ^- x2	^f^( x1^)^f^( x2^)

^ 0(x) = 1 +1 (yjx(x -1) - x)
(x x) tenglikni o’rinli bo’lishini isbotlang.
Ikkita funksiyani olaylik
a(x) = ^f(x), p(x) =¹ x x









a'( x)

^f ' ^{(x) x} - ^{f ( x)}

2

P'(. x)

i

x

x

2
funksiyalami olaylik. Modomiki x ■ x₂ > 0 ekan, x = 0 € [x, x₂ ] boladi. Bu funksiyalar [ x, x ] segmentda uzluksiz (x, x₂) da
hosilalarga ega va P(x) ф 0 (xg[x,x₂]). Demak a(x) va p(x) funksiyalar Koshi
teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Unda Koshi teoremasiga ko’ra shunday c nuqta (x < c < x₂) topiladiki,
a(x) -a(x) _ a'(c)
P(x₂)-P(xi)
bo’ladi. Keying tenglikdan topamiz:
[cf' (c) - f (c)]^

i	^xi ^x2
^x2 ^- xi	^f^( xi^)^f^( x2^)

^{f (x}2⁾ _- ^{f (x}i) cf'(c) - f (c)
^x2 ^xi _ c^{2 x}i^{f (x}2^{) - x}2^{f (x}i)
¹ _- L _- ± ^x2 ^{- x}i
_{x x c}²


f (c) - cf'(c)



2. Aniqmaslikalarni ochish. Lopital qoidasi. Ajoyib va muhim limitlar.
i°. — ko'rinishidagi aniqmasliklar.

5. 
   teorema. f (x) va g (x) funksiyalar uchun quyidagi shartlar o'rinli bo'lsin:
   

1. 
   . f (x) va g (x) funksiyalar a nuqtaning biror atrofida aniqlangan va chekli hosilaga ega;
   
2. 
   . lim f ( x ) = limg ( x ) = 0;
   

x—

3. 
   . a nuqtaning shu atrofida g'(x) ф 0;
   

U holda
^{f (x}) ^f'(^x)
lim—- lim ,, ₄
x^a g ( x ) x^a g ( x )
tenglik o'rinli bo'ladi.
Izoh. Agar bu teoremaning shartlari nuqtaning chap (yoki o‘ng ) yarim atrofi



fM
g(^x)

ning a nuqtadagi chap ( yoki o‘ng) limitga nisbatan
bajarilsa, u holda teorema
o‘rinli bo‘ladi.

11. 
    misol. Ushbu
    

ax

lim-
e - cosax
xAo e^fx - cos fix
limitni hisoblang. Bu holda



X A 0

X A 0
f (x) - e^ax - cosax, g(x) - e^fx - cos fx bo‘lib, ular uchun teorema shartlari bajariladi. a) limf (x) - 0 - lim g (x)

2. 
   f( x) -a( e^ax + sinax), g' (x) - f( e^fx + sin fx),
   

f( x) a e^ax + sinax a

2. 
   lim ,₍ v ^- —^, lim—fx ^-~^
   

xao g (x) f xao e^f + sin fx f
u holda teoremaga ko‘ra:
fix)_-a
™g(x) f

6. 
   teorema. f (x) va g (x) funksiyalar uchun quyidagi shartlar o‘rinli bo‘lsin:
   

1. 
   f (x) va g (x) funksiyalar (a, +ro) da aniqlangan va chekli hosilaga ega ;
   
2. 
   lim f (x)- lim g (x)- 0;
   

XA+Ю ХА+Ю

3. 
   g' ( x 0, Vx e( a, +^);
   

U holda
^{f (x) f}'(^x)
lim—- lim ,, ₄
^{x —}+^да g (x) ^{x —}+^да g (x)
tenglik o‘rinli bo‘ladi .

11. 
    misol. Ushbu
    

lim
x——+да
n - 2arctgx
ln
limitni hisoblang. Bu yerda


fi+11
V ^x)
f ( x ) — n - 2arctgx, g ( x ) - ln









-2

1

f ' (x)
1* ^V / 1* 1 + x 1 •
^{lim — lim} ~ ^lim
x—+^ g (x ) x—+^ x 1

1 + x² _ 1 + x^{2 2}

— — lim - 2 (1 + x) x — 2
¹ x—+M 1 + x

1 + x

(1 + x)

x
funksiyalar teoremaning birinchi va uchinchi shartlarini qanoatlantirishini tekshirish qiyin emas. Ravshanki,
Demak to‘rtinchi shart ham bajariladi. Shuning uchun teoremaga ko‘ra:

— 2
^f (^x) n- 2arctgx
lim —7 \ — lim ^_


ln
x—+да g ( x ) x—+да


да
2°. — ko‘rinishidagi aniqmasliklar.
да

7. 
   teorema. f (x) va g (x) funksiyalar uchun quyidagi shartlar o‘rinli bo‘lsin:
   

1. 
   Bu funksiyalar a nuqtaning biror atrofida aniqlangan va chekli hosilaga
   
2. 
   
   
   ega
   limf (x) — да,Нщ? (x) — да;
   

x—a x—a

3. 
   a nuqtaning shu atrofida g'(x) ф 0
   

U holda

^f(^x) ^{f ,(x})
lim—- lim—-7^7
x—ag (X) x—ag X)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

11. 
    misol.Ushbu
    

ln

lim-
ж
x———
2

ж^
x
2y

tgx

limitni hisoblang. Bu yerda

f ( x )- ln

»g ( ^x )^- g
^ ж^ x
V 2 У bo‘lib ular teoremaning birinchi ikkinchi va uchinchi shartlarini qanoatlantiradi va
1

ж
f (x) ^x 2 cos² x
lim w ч - lim—;— - lim-

Д g^f (^x)

ж
x——

1