Differensial tenglamalar yechimi

6. Chegaraviy masalalarni
chekli ayirmali usullar yordamida yechish

Chegaraviy masalalarni yechish Koshi masalalariga nisbatan ancha murakkab bo’lganligi sababli, bu ko’rinishdagi masalalar ba’zi xollarda Koshi masalasiga keltirib yechiladi, ko’pchilik hollarda esa chekli ayirmali usullardan foydalaniladi, masalan progonka usuli, potokli progonka usuli, differensial progonka usuli va boshqalar.

Aytaylik, ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama
A(x)y^”+B(x)y^’+C(x)y(x)=F(x) (7.6.1)
_{chegaraviy shartlar bilan berilgan bo’lsin}
(7.6.2)
(7.6.3)
bu erda A(x) 0, a x b, [ ]+[ ]>0, i=0,1.
Bu chegaraviy masalani yechish uchun chekli ayirmali usulni qo’llaymiz. Buning uchun [a,b] oraliqni N ta qismga bo’lamiz va h qadamli to’r hosil qilamiz:
h=(b-a)/N; x_i=x₀+ih, x₀=a, x_N=b, i=0,N;
bu erda N-oraliqlar soni.
Tenglama koeffitsiyentlari, noma’lum funktsiya va uning hosilalarining x_i nuqtadagi qiymatlari quyidagi munosabatlar bilan beriladi:
A(x_i)=A_i, B(x_i)=B_i, C(x_i)=C_i, F(x_i)=F_i, y(x_i)=y_i,


y^’(x_i) (y_i+1-y_i)/h, y^”(x_i) (y_i+1-2y_i+ y_i-1)/h².

Ba’zan y’(x) ni y^’(x_i) (y_i+1-y_i-1)/(2h) ko’rinishida ham yozish mumkin.

U holda (7.6.1) tenglamani x=x_i nuqtadagi ifodasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

chegaraviy shartlarni quyidagicha yozib olamiz:
(6.5)
(7.6.6)
(7.6.4)–(7.6.6) ko’rinishdagi chekli-ayirmali masalani yechishning juda ko’p usullari mavjud, masalan progonka, differensial progonka, potokli progonka, ortogonal progonka, variasion usullar va boshqalar [Samarskiy A. A. va boshqalar].
Biz berilgan masalani progonka usuli bilan yechamiz. Uning uchun (7.6.4)-(7.6.6) ni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:
(6.7)
(6.8)
(6.9)
Bu erda




Hosil qilingan tenglamalar tizimi (6.4)-(6.6) ni yechimi o’ng progonka usuli orqali quyidagicha topiladi:

1. 
   To’g’ri progonka:
   

bu formulalar orqali ketma-ket yordamchi parametrlar (X₁, Z₁, X₂, Z₂, . . . , X_N, Z_N ) hisoblanadi.

2. 
   Teskari progonka:
   

y_i-1=X_iy_i+Z_i
bu formula orqali esa ketma-ket izlanayotgan yechimlar qiymatlari y_N, y_N-1, y_N-2, . . . , y₁ hisoblanadi.
Bu o’ng progonka usuli
(6.10)
shartlar bajarilganda sonlarni yaxlitlash hatoligiga turg’un bo’ladi.
Agarda
(6.11)
shartlar bajarilsa, chap progonka usuli qo’llaniladi:
1)
i=N-1, N-2, . . ., 1
2)
i=0,1, . . ., N-1

Misol: Quyidagi ikkinchi tartibli differensial tenglamaga

y(0)=1, y(1)=0
qo’yilgan chegaraviy masala yechimi to’r usuli yordamida x_n=0,1n, n=0,1 . . .,10 nuqtalarda hisoblansin.
Yechish: Berilgan masala uchun chekli ayirmalar sxemasi quyidagi ko’rinishda yoziladi:


(1-0,01n)y_n-1-2,02y_n+(1+0,01n)y_n+1=0,0002n², n=1, 2, . . ., 9, (6.12)


y₀=1, y₁₀=0 (6.13)

Bu algebraik tenglamalar tizimiga o’ng progonka usulini qo’llaymiz. Buning uchun oldin X_n ,Z_n lar hisoblanadi:

X₁=0, X_n+1=
Z₁=1, Z_n+1=


n=1, 2, . . ., 9.
So’ng teskari yo’nalishda yechimlar


y₁₀=0, y_n-1=X_ny_n+Z_n, n=10, 9, . . ., 1
topiladi. Hisoblangan qiymatlar quyidagi jadvalda keltirilgan: