Differensial tenglamalar yechimi

Differensial tenglamalar yechimi

REJA:


Kirish .

1. 
   Ketma-ket yaqinlashish usuli .
   
2. 
   Darajali qatorlar yordamida integrallash
   
3. 
   Galerkin usuli .
   
4. 
   Eyler usuli .
   

Foydanilgan adbiyotlar ro’yxati.

Kirish .

Differensial tenglamalar — nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalar. Bu tenglamalarda nomaʼlum funksiya i orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida i bitta erkli oʻzgaruvchi t ga, keyingilarida esa mos ravishda x, t va x, u, z erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir. Differensial tenglama nazariyasi 17-asr oxirida differensial va integral hisobning paydo boʻlishi bilan bir vaqtda rivojlana boshlagan. Differensial tenglama matematikada, ayniqsa, uning tatbiklarida juda katta ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, iqtisodiyot, texnika va boshqa sohalarning turli masalalarini tekshirish differensial tenglamani yechishga olib keladi. 2. Xususiy hosilali differensial tenglama Bu tenglamalarning oddiy differensial tenglamadan farqli muhim xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlari toʻplami, yaʼni "umumiy yechimi" ixtiyoriy oʻzgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bogʻliq boʻladi; umuman, bu ixtiyoriy funksiyalarning soni differensial tenglamaning tartibiga teng; ularning erkli oʻzgaruvchilari soni esa izlanayotgan yechim oʻzgaruvchilari sonidan bitta kam boʻladi. Bir nomaʼlumli 1-tartibli xususiy hosilali Differensial tenglamani yechish oddiy differensial tenglama sistemasini yechishga olib keladi. Tartibi birdan yuqori boʻlgan xususiy hosilali differensial tenglama nazariyasida Koshi masalasi bilan bir katorda turli chegaraviy masalalar tekshiriladi.

Asosiy tushunchalar va taʼriflar.
Taʼrif 1. Erkli oʻzgaruvchi x va uning nomaʼlum funksiyasi y(x) ning hosilalari y^' (x),y^'' (x),… ,y^((n) ) (x) va y(x) ni oʻzi ham qatnashishi mumkin boʻlgan
F(x,y,y^',y^'',…,y^((n) ) )=0 yoki F(x,y,dy/dx,(d^2 y)/〖dx〗^2 ,…,(d^n y)/〖dx〗^n )=0
tenglamaga DIFFERENSIAL TENGLAMA deyiladi.
Differensial tenglamada x,y,y^',y^'',…,y^((n) )- lar ixtiyoriy kombinatsiya kelishi mumkin yoki umuman qatnashmasligi ham mumkin, faqatgina tenglamada hech boʻlmaganda y(x) nomaʼlum funksiyaning hech boʻlmaganda bitta hosilasi ishtirok etishi lozim.
Algebraik tenglamalarni yechishda yechim sifatida bitta yoki bir nechta sonlar qidiriladi. Masalan: x^2-3x+2=0 tenglamaning yechimi x=1, x=2.
Differensial tenglamalarning yechimi esa bitta funksiya yoki funksiyalar oilasi boʻladi.
Taʼrif 2. Differensial tenglamaga kiradigan hosilalarning eng yuqori tartibiga differensial tenglamaning tartibi deyiladi.
Taʼrif 3. Differensial tenglamada kata hosilaning koʻphadi boʻlsa, u holda ushbu koʻphadning darajasi differensial tenglamaning darajasi deyiladi.
Masalan: (y^'' )^4+y^'+y^6+x^7=0 - 2-tartibli, 4-darajali differensial tenglama hisoblanadi.
Taʼrif 4. Differensial tenglamani yechish jarayoniga integrallash deyiladi.
1. Ketma-ket yaqinlashish usuli. (Pikar algoritmi)
Pikar usuli birinchi guruhga tegishli taqribiy usullardan bo’lib amaliy masalalarni yechishda qo’llash mumkin.
Bizga,
y^’=f(x,y) (1.1)
birinchi tartibli differensial tenglamaning u(x₀)=u₀ - boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi qo’yilsin. Differensial tenglamaning o’ng tomoni f(x,y) funktsiya {|x-x₀| a; |y-y₀| b} to’rtburchakda uzluksiz va «u» bo’yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega bo’lsin.
(7.1.1) dan
dy=f(x,u)dx
ifodani ikkala tomonini «x₀» dan «x» gacha integrallasak
(1.2)
Bundan, boshlang’ich shartni hisobga olgan holda
(1.3)
Noma’lum funktsiya integral ifodasi ostida qatnashganligi uchun hosil bo’lgan (1.3) tenglamani integral tenglama deb ataladi.
(1.3) da f(x,y) funktsiyadagi “u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u₀”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u₁(x) ni topamiz:
(1.4)
Endi (7.1.3) dagi f(x,y) funktsiyaning “u” o’rniga uni ma’lum qiymati “u₁” ni qo’ysak ikkinchi yaqinlashish bo’yicha yechim “u₂(x)” ni hosil qilamiz:
(1.5)
Ushbu jarayonni davom ettirsak

(1.6)
Shunday qilib quyidagi funktsiyalar ketma-ketligini hosil qildik
u₁(x), u₂(x), u₃(x), ..., u_n(x), (1.7)
Bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin.
Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:
Teorema. Agar (x₀;u₀) nuqta atrofida f(x,y) funktsiya uzluksiz va
chegaralangan xususiy hosilasi f_y (x,y) mavjud bo’lsa, u
holda Pikar {y_i (x)} ketma-ketligi (7.1.1) tenglamaning
yechimi bo’lgan va u(x₀)= u₀ shartni qanoatlantiruvchi u(x)
funktsiyaga yaqinlashadi.
Demak, differensial tenglamalarni yechishda ushbu teoremani shartlari bajarilsa (ya’ni (1.7) yaqinlashuvchi bo’lsa) Pikar usulini qo’llash mumkin. Agar (1.7) ketma-ketlik uzoqlashuvchi bo’lsa, bu usulni qo’llash mumkin bo’lmaydi.
Misol. Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan tenglamaning x₀=0 da u₀=1 shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin.
Yechish. Tenglamani ikkala tomonini «x₀» dan «x» gacha integrallasak

“u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u₀”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u₁(x) ni topamiz:

(7.1.5) ga asosan

Xuddi shuningdek u₃ va u₄ ni ham hisoblasak


Berilgan misoldagi tenglama chiziqli birinchi tartibli differensial tenglama bo’lganligi sababli aniq yechimini topishimiz imkoni bor:

Bundan ko’rinadiki taqribiy yechimlar u₃ va u₄ aniq yechimdan faqat oxirgi hadlari bilan farq qiladilar. Yuqoridagi teorema shartlari bajarganligi sababli bu misol uchun Pikar algoritmi yaqinlashuvchi bo’ladi.