Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari reja differensial tenglama tenglamalarni taqribiy yechish usullari
Download 0.83 Mb.
|
samariddin math
y”=x2u (7.2.4)
tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u’(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. Yechish. Bu misol uchun (7.2.3) qator quyidagi ko’rinishda yoziladi:
(7.2.4) dan ketma-ket hosila olsak y(3)=2xy+x2y ’ y(4)=2y+2xy ’+2xy ’+ x2y ’’=2y+4xy ’+ x2y ’’ y(5)=2y ’+4y ’+4xy ’’+2xy ’’+ x2y ’’’=6y ’+6xy ’’+ x2y ’’’ y(6)=12y ’’+8xy ’’’+ x2y(4) y(7)=20y ’’’+10xy(4)+ x2y(5) y(8)=30y(4)+12xy(5)+ x2y(6) Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz: y’’(0)=0; y’’’(0)=0; y(4)(0)=2; y(5)(0)=y(6)(0)=y(7)(0)=0; y(8)(0)=60. Bularni (7.2.5) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz: Differensial tenglamalarni yechimini koeffitsiyentlari noma’lum bo’lgan quyidagi qator ko’rinishida xam izlash mumkin: y=a0+a1(x-x0) +a2(x-x0)2+a3(x-x0)3+... (7.2.6) Bu usulda noma’lum koeffitsiyentlar a0, a1, a2 ... quyidagicha topiladi: (7.2.6) dan hosilalar olinib differensial tenglamaga qo’yiladi. So’ngra “x” ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari bir-birlariga tenglashtiriladi va boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda noma’lum koeffitsiyentlar a0, a1, a2 , ... an topiladi. Topilgan koeffitsiyentlarni (7.2.6) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz. Misol. y’’=x2u tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u’(0)=0 larni qanoatlantiruvchi yechimi noma’lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topilsin. Yechish. x0=0 bo’lgani uchun yechimni quyidagi qator ko’rinishida qidiramiz:
Bundan ikki marta hosila olsak y’=a1 +2a2x+3a3x2+4a4x3+...+nanxn-1... u’’=2a2 +6a3x+12a4x2+...+ n(n-1) an xn-2... Boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda a0=1; a1=0 ekanligini aniqlaymiz. a0 va a1 ni (7.2.7) ga qo’ysak u=1+a2x2+a3x3+a4x4...+anxn Bu qatorni qolgan koeffitsiyentlarini topish uchun berilgan tenglamadan y’’-x2y =0 foydalanamiz: 2a2 +6a3x+12a4x2+20a5x3+30a6x4+...+ n(n-1) an xn-2– –x2(1+a2x2+a3x3+a4x4...+ anxn+...)=0. Bu tenglikni “x” ning darajalari bo’yicha guruhlarga ajratamiz
Biz yechimni x 0 hol uchun qidirayotganimiz uchun “x” ning oldidagi koeffitsiyentlarni “0”ga tenglashimiz lozim bo’ladi, ya’ni a2=0, a3=0, 12a4–1=0 . Bundan a4= ; a5=0; 30a6-a2=0; a6=0 ;a7=0 va 56a8-a4=0 x.k. Shularni hisobga olgan holda yechimni quyidagicha yozish mumkin u=1+ x4+ x8... Galerkin usuli Differensial tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechishda taqribiy- varasion usullardan biri Galerkin usulini qo’llash maqsadga muofiq bo’ladi. Bu usulda tenglamani yechimi tanlab olingan funktsiyalar yig’indisi ko’rinishida bo’ladi. Bu usulni ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaga qo’yilgan chegaraviy masalaga qo’llanishini ko’raylik. Bizga quyidagi chegaraviy masala berilgan bo’lsin: (7.3.1) (7.3.2) (7.3.3) bu erda, p(x), q(x), f(x)–berilgan funktsiyalar; -o’zgarmaslar. Faraz qilamiz, bu chegaraviy masalani yagona, etarlicha differsiallanuvchi yechimi mavjud. Buning uchun, quyidagi shart bajarilishi kerak:
Galerkin usuli qo’llash uchun quyidagi shartlarni bajaruvchi funktsiyalar tizimini tanlab olamiz: 1) Bu funktsiyalar uzluksiz va ikkinchi tartibgacha uzluksiz hosilalarga ega S2 . 2) Ixtiyoriy n uchun funktsiyalar da c hiziqli bog’liq emas. 4) (7.3.1),(7.3.2) shartlarni bajaruvchi funktsiyalar S2 to’plamda to’la gruppani tashkil etadi. Bu shartlarni bajaruvchi funktsiyalarga koordinat funktsiyalar deb ataladi. Berilgan masalani yechimi quyidagi ko’rinishda (7.3.4) qidiramiz.
bu erda
R (x, a1 ,a2 ,... an) = y’’n(x) + p(x)y’n(x) - q(x)yn(x) - f(x). Oxirgi integral tenglikdan quyidagi algebraik tenglamalar tizimini hosil qilamiz: (7.3.5) bu erda
Hosil qilingan (7.3.5) tenglamalar tizimidan noma’lum koeffitsiyentlar topilib, (7.3.4) ga qo’yiladi, natijada berilgan masalani taqribiy yechimi topiladi. Galerkin usulini taqribiy yechimining aniqligi koordinat funktsiyalar soniga (n) va ularni qanday tanlab olinishiga bog’liq.
Misol. Galerkin usuli yordamida quyidagi chegaraviy masalani y’’(x)+2xy’(x)-2y(x)=2x2, 0 x 1, y’(0)=-2, y(1)+y’(1)=0 taqribiy yechimini toping. Yechish. Koordinat funktsiyalarni ... , darajali funktsiyalar 1, x, x2, ... kombinasiyasi sifatida olamiz. funktsiya chegaraviy shartlarni qanotlantirishini xisobga olsak ekanligini topamiz. funktsiyalar esa bir jinsli chegaraviy shartlarni qanotlantirishi kerak. U xolda, bu funktsiyalarni ko’rinishda olsak, noma’lum parametrlarni topib, koordinat funktsiyalarni Download 0.83 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling