Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari reja differensial tenglama tenglamalarni taqribiy yechish usullari


Download 0.83 Mb.
bet2/2
Sana20.12.2022
Hajmi0.83 Mb.
#1039956
1   2
Bog'liq
samariddin math

y=x2(7.2.4)

tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

Yechish. Bu misol uchun (7.2.3) qator quyidagi ko’rinishda yoziladi:

(7.2.5)

(7.2.4) dan ketma-ket hosila olsak



y(3)=2xy+x2

y(4)=2y+2xy +2xy + x2’’=2y+4xy + x2’’

y(5)=2y +4y +4xy ’’+2xy ’’+ x2’’’=6y +6xy ’’+ x2’’’

y(6)=12y ’’+8xy ’’’+ x2y(4)

y(7)=20y ’’’+10xy(4)+ x2y(5)

y(8)=30y(4)+12xy(5)+ x2y(6)

Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz:



y’’(0)=0; y’’’(0)=0; y(4)(0)=2; y(5)(0)=y(6)(0)=y(7)(0)=0;

y(8)(0)=60.

Bularni (7.2.5) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz:



Differensial tenglamalarni yechimini koeffitsiyentlari noma’lum bo’lgan quyidagi qator ko’rinishida xam izlash mumkin:


y=a0+a1(x-x0) +a2(x-x0)2+a3(x-x0)3+... (7.2.6)

Bu usulda noma’lum koeffitsiyentlar a0, a1, a2 ... quyidagicha topiladi: (7.2.6) dan hosilalar olinib differensial tenglamaga qo’yiladi. So’ngra “x” ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari bir-birlariga tenglashtiriladi va boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda noma’lum koeffitsiyentlar a0, a1, a2 , ... an topiladi. Topilgan koeffitsiyentlarni (7.2.6) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz.

Misol. y’’=x2tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u(0)=0 larni qanoatlantiruvchi yechimi noma’lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topilsin.

Yechish. x0=0 bo’lgani uchun yechimni quyidagi qator ko’rinishida qidiramiz:

u=a+a1x+a2x2+...+anxn+... (7.2.7)

Bundan ikki marta hosila olsak



y=a+2a2x+3a3x2+4a4x3+...+nanxn-1...

u’’=2a+6a3x+12a4x2+...+ n(n-1) an xn-2...

Boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda a0=1; a1=0 ekanligini aniqlaymiz. a0 va a1 ni (7.2.7) ga qo’ysak



u=1+a2x2+a3x3+a4x4...+anxn

Bu qatorni qolgan koeffitsiyentlarini topish uchun berilgan tenglamadan y’’-x2y =0 foydalanamiz:



2a+6a3x+12a4x2+20a5x3+30a6x4+...+ n(n-1) axn-2

x2(1+a2x2+a3x3+a4x4...+ anxn+...)=0.

Bu tenglikni “x” ning darajalari bo’yicha guruhlarga ajratamiz

2a2+6a3x+(12a4–1)x2+20a5x3+(30a–a2)x4+(42a7–a3)x5+

+(56a8–a4)x5...=0.

Biz yechimni x 0 hol uchun qidirayotganimiz uchun “x” ning oldidagi koeffitsiyentlarni “0”ga tenglashimiz lozim bo’ladi, ya’ni a2=0, a3=0, 12a4–1=0 .

Bundan a4= ; a5=0; 30a6-a2=0; a6=0 ;a7=0 va 56a8-a4=0 x.k.

Shularni hisobga olgan holda yechimni quyidagicha yozish mumkin




u=1+ x4+ x8...

Galerkin usuli

Differensial tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechishda taqribiy- varasion usullardan biri Galerkin usulini qo’llash maqsadga muofiq bo’ladi. Bu usulda tenglamani yechimi tanlab olingan funktsiyalar yig’indisi ko’rinishida bo’ladi. Bu usulni ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaga qo’yilgan chegaraviy masalaga qo’llanishini ko’raylik.

Bizga quyidagi chegaraviy masala berilgan bo’lsin:  (7.3.1)



(7.3.2)

(7.3.3)

bu erda, p(x), q(x), f(x)–berilgan funktsiyalar;  -o’zgarmaslar.

Faraz qilamiz, bu chegaraviy masalani yagona, etarlicha differsiallanuvchi yechimi mavjud. Buning uchun, quyidagi shart bajarilishi kerak:
>0,  >0.

Galerkin usuli qo’llash uchun quyidagi shartlarni bajaruvchi funktsiyalar tizimini  tanlab olamiz:

1) Bu funktsiyalar uzluksiz va ikkinchi tartibgacha uzluksiz hosilalarga ega  S2 .

2) Ixtiyoriy n uchun funktsiyalar  da

c hiziqli bog’liq emas.

4) (7.3.1),(7.3.2) shartlarni bajaruvchi  funktsiyalar

S2  to’plamda to’la gruppani tashkil etadi.

Bu shartlarni bajaruvchi funktsiyalarga koordinat funktsiyalar deb ataladi.



Berilgan masalani yechimi quyidagi ko’rinishda

  (7.3.4)

qidiramiz.
Noma’lum a1, a2,..., an koeffitsiyentlar quyidagi shartlardan topiladi:

bu erda


R (x, a,a,... an) = y’’n(x) + p(x)yn(x) - q(x)yn(x) - f(x).

Oxirgi integral tenglikdan quyidagi algebraik tenglamalar tizimini hosil qilamiz:



 (7.3.5)

bu erda




Hosil qilingan (7.3.5) tenglamalar tizimidan noma’lum koeffitsiyentlar topilib, (7.3.4) ga qo’yiladi, natijada berilgan masalani taqribiy yechimi topiladi.

Galerkin usulini taqribiy yechimining aniqligi koordinat funktsiyalar soniga (n) va ularni qanday tanlab olinishiga bog’liq.

Misol. Galerkin usuli yordamida quyidagi chegaraviy masalani



y’’(x)+2xy(x)-2y(x)=2x2, 0 x 1,

y(0)=-2, y(1)+y’(1)=0

taqribiy yechimini toping.



Yechish. Koordinat funktsiyalarni  ... , darajali funktsiyalar 1, x, x2, ... kombinasiyasi sifatida olamiz.

funktsiya chegaraviy shartlarni   qanotlantirishini xisobga olsak   ekanligini topamiz.

funktsiyalar esa bir jinsli chegaraviy shartlarni  qanotlantirishi kerak. U xolda, bu funktsiyalarni  ko’rinishda olsak, noma’lum parametrlarni topib, koordinat funktsiyalarni




Download 0.83 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling