Differensial tenglamalarning amaliy masalalar yechishga tadbiqlari. Mexanik tebranishlarni differensial tenglamasi. Erkin tebranish majburiy tebranish

Erkin mexanik tebranishlar. so’nuvchi tebranishlarning differentsial tenglamasini keltirib chiqarishga harakat qilamiz. Tebranuvchi jismga qaytaruvchi kuch va jismning harakat tezligiga proportsional bo’lgan qarshilik kuchlarning yig’indisi ta’sir etadi, deb hisoblaylik.
Bu yerda qarshilik kuchi, qarshilik koeffitsienti,
harakat tezligi, “–“ ishora ishqalanish kuchi doimo harakat tezligi
yo’nalishiga teskari ekanligini bildiradi.
o’q bo’ylab to’g’ri chiziqli so’nuvchi tebranish uchun Nyutonning II qonuni quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

Bu yerda tebranuvchi kattalik, qarshilik kuchi yo’qligidagi tebranishlar chastotasi yoki tebranuvchi tizimning xususiy chatotasidir.

Bu ifoda erkin so’nuvchi tebranishlarning differentsial tenglamasi deb ataladi. Bu yerda so’nish koeffitsienti deb ataladi. (9.38) tenglamani quyidagi ko’rinishda ham yozish mumkin:

Bu tenglamaning yechimi


Muhitning qarshiligi bo’lmagan holatda ( ) (9.41) – ifoda tizimning xususiy chastotasiga tenglashadi: . (9.40) - funktsiya ko’rinishiga qarab, tizimning harakatini chastotali, amplitudasi vaqt bo’yicha o’zgaradigan quyidagi so’nuvchi tebranish deb qarash mumkin. Bu yerda - vaqtning boshlang’ich holatidagi tebranish amplitudasidir.

9 - rasmda amplituda va siljishning vaqtga bog’liq egri chiziqlari keltirilgan. Egri chiziqlarning yuqorigisi funktsiya grafigini belgilaydi. Bu yerda
va boshlang’ich momentdagi amplituda va siljishning qiymatlaridir.
Boshlang’ich siljish o’z vaqtida, dan tashqari, boshlang’ich fazaga ham bog’liqdir:

Tebranishning so’nish tezligi bilan aniqlanadi va u so’nish koeffitsienti deb ataladi.

marta kamayishga ketgan vaqt

ga tengdir. so’nuvchi tebranishlar davri

ifoda bilan aniqlanadi. Muhitning qarshiligi sezilarli ravishda kichik bo’lganda , tebranish davri xususiy davrga teng bo’ladi:
so’nish koeffits ienti ortishi bilan tebranish davri orta
boradi.
Bitta to’la davrning boshlang’ich va oxirgi holatlariga mos keluvchi amplitudalar nisbati quyidagiga tengdir:

va u so’nish dekrementi deb ataladi. Bu ifodaning logarifmi so’nishning logarifmik dekrementi deb ataladi:

So’nishning logarifmik dekrementi bir davr ichida amplitudaning nisbiy kamayishini xarakterlaydi, so’nish koeffitsienti esa apmlitudaning birlik vaqt ichidagi nisbiy kamayishini ko’rsatadi.
Yuqorida ta’kidlangandek, so’nish koeffitsienti r qarshilik koeffitsientiga to’g’ri va tebranuvchi jismning massasiga teskari proportsionaldir.

(9.41) - ifodadan tsiklik chastota xususiy chastota dan kichikligi ko’rinib turibdi. Agarda muhitning qarshiligi juda katta bo’lsa dir, ildiz ostidagi
ifoda manfiy, tsiklik chastota esa mavhum bo’ladi. Bu holatda jism davriy
bo’lmagan - aperiodik harakat qilaboshlaydi (10 - rasm).