Differensial tenglamalarning amaliy masalalar yechishga tadbiqlari. Mexanik tebranishlarni differensial tenglamasi. Erkin tebranish majburiy tebranish

Majburiy mexanik tebranishlar. Rezonans hodisasi.
Doimo ta’sir qiluvchi, davriy tashqi kuch ta’sirida tizimning tebranishi majburiy tebranishlar deb ataladi. Ta’sir etuvchi kuch majbur etuvchi kuch deb ataladi.
Oddiy holatlarda bu kuch garmonik qonuniyatlarga asosan o’zgaradi:

bu yerda majbur etuvchi kuchning amplitudasi, shu kuch o’zgarishining tsiklik chastotasi. Odatda, tebranayotgan tizimga majbur etuvchi kuchdan tashqari,
va muhitning qarshilik kuchi

ta’sir etadi. Bu kuchlarning ta’siri natijasida m massali
tizim Nyutonning II qonuniga asosan tezlanish oladi.
Bu ifodaning ikki tarafini m massaga bo’lsak, m tebranayotgan jismning tezlanishi ifodasiga ega bo’lamiz:

Quyidagi almashtirishlardan so’ng

majburiy tebranishlarning tenglamasiga ega bo’lamiz:

Bu ifoda ikkinchi tartibli, chiziqli, bir jinsli bo’lmagan differentsial tenglamadir. Tenglamaning yechimi ikki funktsiyaning yig’indisidan iboratdir:

Shunday qilib, majburiy tebranish

tsiklik chastotali so’nuvchi tebranish va chastotali garmonik tebranishlar yig’indisidan iboratdir.

Avval, so’nadi va toza majburiy garmonik tebranish

qoladi (11 - rasm).
Bu yechimni (9.46) – ifodaga qo’yib, ayrim o’zgartirishlardan so’ng quyidagiga ega bo’lamiz:

Bu ifodadan majburiy tebranishlar amplitudasi va boshlang’ich fazaning tangensi qiymatlarini topishimiz mumkin


Tebranishning amplitudasi va fazasi tizimning va parametrlariga bog’liqdir. va ning aniq qiymatlarida chastotani o’zgartirib, amplitudaning maksimal qiymatiga erishish mumkin. bo’lganda majburiy tebranishlar amplitudasining birdaniga ortishi hodisasi - rezonans hodisasi deb ataladi.