Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-§. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar


-§.Ba’zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi


Download 0.55 Mb.
bet11/13
Sana04.11.2023
Hajmi0.55 Mb.
#1746199
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13
Bog'liq
Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-§-fayllar.org

4-§.Ba’zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi





1. ex funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=ex funksiyaning (∞;+) oraliqda barcha tartibli hosilalari mavjud: f(k)(x)=ex, k=1, 2, ..., n+1.

Bundan x=0 da f(k)(0)=1, k=1, 2, ..., n; f(n+1)(θx)=eθx va f(0)=1 hosil bo‘ladi.
Olingan natijalarni (3.10) formulaga qo‘yib
ех =1+ х + х2 + ...+ хn + хn+1 eθx (4.1)
1! 2! n! ( n +1)!
bu erda 0<θ<1, formulaga ega bo‘lamiz.
23-rasmda f( x)= ex funksiya va P3(x) ko‘phad funksiyaning grafiklari keltirilgan.
Agar x=1 bo‘lsa,
е =1+ 1 + 2 + ...+ 1 + еθ (4.2)
1! 2! n! ( n +1)!

formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula yordamida e sonining irratsionalligini isbot qilish mumkin.




23-rasm
Haqiqatan ham, faraz qilaylik, е = p - ratsional son bo‘lsin. Bunda e>1 q
bo‘lganligi uchun p>q bo‘ladi. (4.2) da е = p desak, q
qp = 2+ 21! + 31! + .....+ n1! + ( n 1 qpθ

+1)! 



Bu tenglikning ikkala tomonini n! ga ko‘paytirsak quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

qp n!−( 2⋅n!+ 21! ⋅n!+ 31! ⋅n!+...+1) = n1 1qpθ (4.3)

+ 



Bu erda n sonni r dan katta deb olishimiz mumkin. U holda θ<1, p>q bo‘lganligi uchun

0 < 1 qpθ < n1+1qp ≤ np+1 <1 (4.4) n +1
bo‘ladi. Shuningdek, n>p>q bo‘lganligi uchun p n! -butun son, chunki n! da q q
ga teng bo‘lgan ko‘paytuvchi uchraydi.

Ravshanki,




ko‘rinishdagi yig‘indi ham butun son bo‘ladi. Demak, n>p uchun (4.3) tenglikning chap tomoni musbat butun son, o‘ng tomoni esa (4.4) ga ko‘ra birdan kichik musbat son bo‘ladi. Bu kelib chiqqan ziddiyat e sonining ratsional son deb faraz qilishimizning noto‘g‘ri ekanligini ko‘rsatadi. Shuning uchun e – irratsional son bo‘ladi.


2. Sinus funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=sinx funksiyaning istalgan tartibli hosilasi mavjud va n-tartibli hosila

uchun quyidagi formula o‘rinli edi (I.8-§): f ( n )( x ) = sin( x + nπ ). x=0 da
2 f(0)=0 va

f ( n )( 0 ) = sin nπ = 0, agarк n = 2k,


2 ( −1) , agar n = 2к +1
Shuning uchun (3.10) formulaga ko‘ra

sin x = x − x3 + ...+( −1)k x2k+1 + x2k+2 sin(θx +( k +1)π), 0 <θ<1 (4.5)


3! ( 2k +1)! ( 2k + 2 )!

ko‘rinishdagi yoyilmaga ega bo‘lamiz.



24-rasm

24-rasmda f(x)=sinx, P3(x), P5(x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan.






  1. Kosinus funksiya uchun Makloren formulasi.



Ma’lumki, f(x)=cosx funksiyaning n-tartibli hosilasi uchun f ( n )( x ) = cos( x + nπ ) formulaga egamiz (I.8-§). 2

x=0 da f(0)=1 va f ( n )(0 ) = cos n2π = (0−, 1)agark , agarn = 2nk =+21,k


Demak, sosx funksiya uchun quyidagi formula o‘rinli:

сosx =1− x2 + x4 x6 +...+(−1)k x2k + x2k+2 cos(θx + kπ+π ), 0<θ<1 (4.6)


2! 4! 6! 2k! (2k +1)! 2



25-rasm
25-rasmda f(x)=cosx, P2(x), P4(x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan.






  1. Download 0.55 Mb.

    Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling