Диск Максвелла

Тема: Диск Максвелла. Исследование давления гироскопом
Цель работы. Исследовать движение диска Максвелла, т. е. определить силы, оказывающие заметное влияние на него.
Приборы и материалы. Экспериментальная установка (в нее входит и сам диск Максвелла), съемные кольца.


Краткая теория.
На движущийся диск Максвелла действуют следующие силы. Сила сопротивления воздуха, сила тяжести и сила трения о нить (эта сила численно равна силе натяжения нити). Примем силу сопротивления на единичную площадь равную


(1)

где v скорость площадки, k коэффициент пропорциональности.

Момент силы сопротивления действующий на диск соответственно равен


(2)

где R радиус диска,  угловая скорость вращения диска вокруг своей центральной оси. Уравнение движения будит выглядеть так

(3)

где I момент инерции диска со стержнем относительно центральной оси, m масса диска со стержнем, b радиус стержня. Отсюда

(4)
где (5)
(6)

где H высота, на которую опускается диск.

Разложив функцию (6) ( H(t) ) по Маклорену, считая 1>>t, получим
(7)
(8)

где H₁ и H₂ соответственно разложение по Маклорену функции H(t), с учетом первого не равного нулю члена и с учетом первого и второго не равных нулю членов.

Описание экспериментальной установки и методов работы на ней.
Экспериментальная установка представляет собой подвес (1), с диском Максвела (2), и секундомер (рис.1). Момент страта диска и момент когда он опускается на максимальную высоту, определяется с помощью световых диодов (4). Время падения отсчитывается от момента, когда диск находится в верхней точке до момента, когда диск опускается на максимальную высоту (между двумя пересечениями лучей световых диодов (4)) и высвечивается на табло, находящемся на блоке (5). К стержню прикреплена линейка (1) для определения высоты, на которую падает диск (расстояние между световыми диодами (4)). В верхней точке диск удерживается магнитами (3). Для того чтобы диск начал падать нужно, нажать клавишу “пуск” на блоке (5). Для того чтобы стереть старые данные и провести новый эксперимент нужно нажать клавишу “сброс” на блоке (5). Момент инерции диска (2) можно менять с помощью насаживания на основу разных колец.




Рис. 1 Экспериментальная установка.


Экспериментальная часть.
Для определения вида зависимости H(t) формулы (7) и (8), было померено время падения диска в зависимости от высоты падения. Вид зависимости ((7) или (8)) и определяет влияние силы сопротивления воздуха на движение диска.


Таблица 1. Экспериментальные данные.

Высота. см.	Время падения диска 1. (m=531  1). с.	Время падения диска 2. (m=392  1) с.	Время падения диска 3. (m=264  1) с.
38.1  0.1	2.12  0.04	2.08  0.03	2.01  0.03
36.0  0.1	2.07  0.04	2.01  0.03	1.94  0.04
33.5  0.1	2.08  0.03	1.97  0.04	1.89  0.03
26.0  0.1	1.98  0.04	1.68  0.03	1.645  0.005
22.0  0.1	1.56  0.04	1.55  0.06	1.46  0.04
14.0  0.1	1.17  0.03	1.19  0.03	1.19  0.02

Кольцо 3.
Кольцо 2.
Кольцо 1.
Рис.1 Зависимость H(T²).



Кольцо 3.

Кольцо 2.

Кольцо 1.
Рис.1 Зависимость (T).

Вид графиков говорит в пользу того, что более малая погрешность будит присутствовать для формулы (7) нежели (8).

К данным, приведенным в таблице, был применен метод наименьших квадратов для двух видов зависимостей.

1. y=bx y=H (формула (7)).

2. y=bx+g x=t (формула (8)).

Параметр определяет степень зависимости характеристик движения от силы сопротивления воздуха. Параметры b и g для функций вида y=bx+g и y=bx будит показывать насколько точно приближение формулы (7) по отношению к формуле (8).
Для экспериментальных данных были получены следующие результаты.
Кольцо 1.

1. 
   b=(9.6  0.8) см. с.^-2
   
2. 
   b=(-0.84  0.19) см. с.^-3
   

g=(11.1  0.9) см. с.^-2
Кольцо 2.

1. 
   b=(8.9  0.8) см. с.^-2
   
2. 
   b=(-1  0.4) см. с.^-3
   

g=(11.0  0.8) см. с.^-2
Кольцо 3.

1. 
   b=(8.0  0.7) см. с.^-2
   
2. 
   b=(-2  0.7) см. с.^-3
   

g=(12.8  1) см. с.^-2

Надо заметить, что параметры b для случая 2, для разных колец достаточно велики и что интервалы b для случая 1 и g для случая 2, для одних и тех же колец не имеют общих точек и лежат достаточно далеко друг от друга. Эти данные говорят о том, что зависимость H(t) более рационально принять как функцию (8).

Найдем параметры и .
Для вида функции H(T) (8) получим.
Кольцо 1.
=(2.5  0.6) см. с.^-3
=(0.23  0.06) с.^-1
Кольцо 2.
=(3  1.2) см. с.^-3
=(0.3  0.14) с.^-1
Кольцо 3.
=(6  2.1) см. с.^-3
=(0.5  0.2) с.^-1
Для вида функции H(T) (7), считая величину известной и равной найденной с помощью формулы (8), получим.
Кольцо 1.
=(4.8  0.4) см. с.^-3
Кольцо 2.
=(4.6  0.4) см. с.^-3
Кольцо 3.
=(4.0  0.4) см. с.^-3
Как видно из данных приведенных выше величина меньше единицы только для последних двух дисков, поэтому для кольца 1 разложение применить вообще нельзя. Вышесказанное говорит в пользу того, что более малая погрешность будит присутствовать для формулы (8) нежели (7).
Теперь найдем моменты инерции дисков с различными из насажанных колец с помощью формул (5). Формула для вычисления момента инерции диска I выглядит следующим образом:
.
Для вида функции H(T) (8) получим.
Кольцо 1.
I=(6.5  2.3)10 кг. см.²
Кольцо 2.
I=(2.0  0.9)10 кг. см.²
Кольцо 3.
I=(1.2 0.7)10 кг. см.²
Для вида функции H(T) (7), считая величину известной и равной найденной с помощью формулы (8), получим.
Кольцо 1.
I=(6.2  2.7)10 кг. см.²
Кольцо 2.
I=(1.7  1.1)10 кг. см.²
Кольцо 3.
I=(1.6 0.8)10 кг. см.²
Теоретические моменты инерции.
Кольцо 1.
I=(6.4  0.4)10 кг. см.²
Кольцо 2.
I=(1.9  0.1)10 кг. см.²
Кольцо 3.
I=(1.4  0.1)10 кг. см.²
Полученные нами данные относительно моментов инерции также говорят о том, что сопротивление воздуха не оказывает ощутимое влияние на движение диска.
Выводы. Проведено исследование сил влияющих на диск, установлено что по мимо силы тяжести и силы трения о нить на диск оказывают заметное влияние еще и силы сопротивления воздуха. Было установлено наилучшее из приближений функции H(t) среди двух вариантов и .
Наилучшим оказался вариант . Были получены моменты инерции диска с кольцами экспериментальным путем.
Литература.
1.Определение моментов инерции тел относительно нецентральных осей. Нижний Новгород 1992 г. [1].
2.П.Н.Урман,М.А.Фадеев.Расчет погрешностей экспериментальных результатов. Нижний Новгород. [2].