Diskirt taqsimotning aniqmaslik darajasi. Entropiya haqida tushuncha

Teorema: Har qanday taqsimot fuksiya yagona usul bilan ko`rinishda tasvirlanishi mumkin, bu yerda diskret taqsimot funksiya absalyut uzluksiz taqsimot funksiya, singulyar taqsimot funksiya.
Endi ba`zi muhim absolyut uzluksiz taqsimotlarni qarab chiqamiz.
Tekis taqsimot. Agar tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi

ko`rinishida bo`lsa, tasodifiy miqdor kesmada tekis taqsimotga ega deyiladi.
Normal taqsimot. Agar tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi

ko`rinishda bo`lsa, u normal taqsimotga ega deyiladi.
Haqiqatdan ham p(x) zichlik funksiyadir, chunki .
Bunga almashtirish va matematik analiz kursidagi Puasson integrali orqali ishonch hosil qilish mumkin .

normal taqsimot zichlik funksiyasi grafigi chiziqga nisbatan simmetrik bo`ladi va ning turli qiymatlarida quyidagicha bo`ladi. normal taqsimotga ega bo`lgan tasodifiy miqdor bo`lsin, bu holda standart normal taqsimotga ega deyiladi. U holda ning taqsimot funksiyasi

zichlik funksiyasi esa

ko`rinishida bo`ladi. .
Ko`rsatkichli taqsimot. tasodifiy miqdor parametr bilan ko`rsatkichli (eksponensial) taqsimotga ega deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi quyiadgi ko`rinishda bo`lsa,
.
Biz bundan keyin tasodifiy miqdor parametrli normal taqsimotga ega bo`lsa, ko`rinishda yozamiz.
Bunday tasodifiy miqdorning zichlik taqsimoti

ko`rinishda bo`ladi.
Agar tasodifiy miqdorning zichlik taqsimoti bo`lsa, u Koshi qonuni bilan taqsimlangan deyiladi.
Endi normal taqsimot orqali aniqlanadigan ayrim taqsimotlarni qaraymiz.
-taqsimot. va bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar bo`lsinlar ( ). tasoifiy miqdorlarni aniqlaymiz. tasodifiy miqdorning taqsimotiga erkinlik (ozodlik) darajali taqsimoti deyladi.
erkinlik darajali taqsimotning zichlik funksiya uchun ko`rinishiga ega, bu yerda ko`paytuvchi shartni qanoatlantiradi.
Styudent taqsimoti. , va lar bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar. U holda

tasodifiy miqdor erkinlik darajali Styudent taqsimotga ega deyiladi.
Styudent taqsimotining zichlik funksiyasi

ko`rinishda bo`ladi.
Fisher taqsimoti ( -taqsimot). -bog`lanmagan normal tasodifiy miqdorlar bo`lsinlar: , . U holda

tasodifiy miqdor va erkinlik darajali Fisher taqsimotiga ega bo`ladi.

"Millionlab odamlar shuurini uyg‘otish uchun bir tomchi siyoh kifoya qiladi" - deb yozgan edi bir paytlar Jorj Jordan Bayron. Avstriyalik fizik Lyudvig Bolsman sistemadagi ko‘p sonli zarrachalarning xatti-harakatini matematik jihatdan bayon qiluvchi statistik termodinamika bilan shug‘ullangan. Masalan, stakandagi suvga tomizilgan siyoh tomchisidagi zarrachalarning harakatini ifodalash uchun, statistik termodinamikadan foydalanish mumkin. 1875-yilda Lyudvig Bolsman sistemaning entropiyasi S va sistemaning mavjud bo‘lishi mumkin bo‘lgan holatlarining soni W o‘rtasidagi bog‘liqlikni ifodalovchi ixcham, lekin juda aniq formulani keltirib chiqardi. Uning formulasi S=k lnW ko‘rinishida bo‘lib, bu yerda k - Bolsman doimiysi deyiladi. Ushbu doimiyni "Bolsman doimiysi" deb atash fikri keyinroq Maks Plankdan chiqqandi. Bolsman doimiysi, sistemaning harorati va energiyasi orasidagi bog‘liqlikni ifodalaydi.

Keling, Bayron nazarda tutgan o‘sha siyoh tomchisini ko‘rib chiqamiz. Faqat biz siyoh tomchisini, u o‘ylaganidek, nazmiy nuqtai nazardan emas, kamtarona - fizika nuqtai nazaridan tekshiramiz. Kinetik nazariyaga muvofiq, molekulalar doimiy to‘xtovsiz tartibsiz harakatda bo‘ladi va o‘zaro joylashuvini uzluksiz o‘zgartirib turadi. Konfiguratsiyaning turli xil holatlari ehtimolligi teng deb olamiz. Lekin, ochiq ravshanki, ushbu konfiguratsiyalarning juda ko‘p turi, siyoh molekulalari yagona tomchi sifatida jamlanib turgan holati bilan mos tushmaydi. Siyoh molekulalarining suv molekulalari bilan erkin va betartib aralashib ketishining sababi shundaki, ushbu ikki moddaning aralashmasining mavjud bo‘lishi mumkin bo‘lgan holatlari soni, ularning har ikkalasi alohida bo‘lgan vaziyatdagi holatlarining sonidan ko‘proq bo‘ladi. Spontan (ya'ni, o‘z-o‘zidan yuz beradigan) jarayonlar odatda, ehtimolligi eng kuchli bo‘lgan yakuniy holatga olib boradi. S=k lnW formuladan foydalanib biz entropiyani hisoblashimiz mumkin. Teranroq nazar tashlasak, sistemaning holatlari soni qanchalik ko‘p bo‘lsa, uning entropiyasi, ya'ni, betartibligi darajasi ham shuncha katta bo‘lishini tushunamiz. Ehtimollikligi kattaroq bo‘lgan sistema (masalan, suvga aralashib ketgan siyoh tomchisi) katta entropiyaga ega bo‘ladi. Spontan jarayonlar entropiyasi eng maksimal bo‘lgan yakuniy holatga olib boradi. Ushbu tasdiq, amalda termodinamikaning ikkinchi bosh qonunining ta'riflaridan biridir. So‘zimizni ilmiy terminologiya bilan ifodalaydigan bo‘lsak, joriy makroholatni (bizning misolimizda - stakandagi suv va siyoh aralashmasi) taqdim etishi mumkin bo‘lgan usullarning soni W ta bo‘ladi.
Garchi, molekulalarning statistik xossalariga tayanib termodinamika qonunlarini keltirib chiqarish borasidagi Bolsman g‘oyalari bugungi kunda juda aniq-ravshan va oson tushuniladigandek ko‘rinsa-da, lekin, shunisi g‘alatiki, olimning o‘z zamondoshi bo‘lgan olimlaridan aksariyati, nafaqat Bolsman g‘oyalarini, balki, atom tuzilishi haqidagi ta'limotlarni ham qat'iy inkor etishgan edi. Eskicha qarashlarga yopishib olgan biryoqlama fikrlovchi fiziklardan iborat bir guruh mutaxassislar, Bolsmanning statistik fizika va termodinamika borasidagi ilmiy ishlarini ham, Daltonning atom nazariyasini ham inkor etib, ularni mazax qilishdan ham toyishmadi. Bolsman o‘z g‘oyalarining haq ekanini isbotlash uchun ko‘p va xo‘b urindi. U shu sababli o‘z davrining ko‘zga ko‘ringan ziyolilari bilan ham ixtiloflarga borib qoldi. Ilmiy ishlari muntazam va surunkali rad etilavergach, olim ruhiy tushkunlikka tushib qoldi. U hammasidan bir muddatga uzoqlashib, qizi va xotini bilan Italiyada, dengiz sohilida dam olib kelmoqchi bo‘lgan edi. Biroq, 1906-yilda uni dam olish ta'tili vaqtida borib joylashgan mehmonxonadagi o‘z xonasida o‘lik holda topildi. Olim chuqur ruhiy tushkunlik iskanjasida o‘z joniga qasd qilgan edi. Bolsmanni Venada dafn etilgan. Uning qabr toshiga, olim o‘zi keltirib chiqargan va fizika fanida nihoyatda muhim o‘rin tutgan entropiya formulasi o‘yib bitilgan.
Avval boshdan aytish kerakki, entropiya tushunchasi termodinamikadagi bosim, hajm, yoki ichki energiya singari tushunchalaridan sifat jihatdan farq qiladi. Chunki, entropiya bu sistemaning xususiyati emas, balki, ushbu sistemani biz qay tarzda idrok etayotganimizning xususiyatidir. Ya'ni, entropiya aslida bilvosita, subyektiv xossa bo‘ladi. Fikrimcha, entropiyani oson tushunib olishda g‘ov bo‘ladigan eng birinchi holat mana shunda. Ya'ni, termodinamika kurslarida entropiya boshqa obyektiv termodinamik funksiyalar bilan teng tarzda, birgalikda ko‘rib chiqiladi.
Agar menga biror odam xorijdan pochta yubormoqchi bo‘lsa va mendan manzilimni so‘rasa, men unga O‘zbekiston deb javob bersam, bu pochta xizmati uchun g‘oyat katta entropiyaga aylanadi. Chunki, O‘zbekistonda millionlab aholi yashaydi va u jo‘natmani aynan kimga berishni aniqlay olmaydi. Endi, men pochta uchun manzilimni yanada aniqlashtirib, unga "O‘zbekiston Respublikasi, Farg‘ona viloyati" desam, vaziyat biroz yengillashadi. Biroq, bunda ham entropiya hali hamon katta. Chunki, garchi, O‘zbekistonning qolgan 11 ta viloyati istisno qilinib, manzil Farg‘onada ekani oydinlashgan bo‘lsa-da, Farg‘onaning o‘zida ham qancha qishloq, mahalla mavjud va pochta uchun baribir bu ma'lumot ham kamlik qiladi. Shu tarzda, men manzilim Marg‘ilon shahri ekanini aytishim, keyin mahallamiz va ko‘chamiz nomini, uy raqamini keltirishim bilan, qaralayotgan masala uchun entropiyani pasaytiraman.. Keling yana bir misol ko‘rib chiqamiz. Masalan, menda 10 dona narda toshlari bor. Ularni "gardkam!" deb tashlab, sizga esa, tushgan toshlarning umumiy yig‘indisi 30 ga teng ekanini aytaman va toshlarda aynan qaysi raqamlar tushganini topishingizni so‘rayman. Hozirgi holatda siz buni aniq topa olmaysiz. Chunki sizga ma'lumot kamlik qiladi. Narda toshlaridagi har bir raqamlarni statistik fizika nuqtai nazaridan "mikroholatlar" deyiladi. Umumiy yig‘indini (bizning misolimizda 30 ni) esa "makroholat" deyiladi. 10 ta narda toshi bilan qilingan tajribada 30 sonini olish imkonini beradigan mikroholatlarning jami miqdori 2930455 tani tashkil qiladi. Shunga ko‘ra, mazkur makroholatning entropiyasi taqriban 6,5 ga teng bo‘ladi. Agar, yana o‘sha 10 ta toshni tashlab, endi tushgan sonlar yig‘indisi 59 ga teng desam, ushbu makroholat uchun faqatgina 10 ta mikroholatlar varianti mavjud bo‘ladi va bunday sistemaning entropiyasi 1 ga teng bo‘ladi. Ko‘rib turganingizdek, turli xil sistemalar, axborotning kam yoki ko‘pligiga qarab, har xil entropiyaga ega bo‘ladi.
Endi, yana o‘sha o‘nta toshni tashlab, ulardan dastlabki beshtasining yig‘indisi 13 ga, qolgan beshtasiniki esa 17 ga teng ekanini aytsam-chi? Bu holatda, hisoblayotgan odam uchun sistemaning entropiyasi yanada pasayadi. Chunki, 5 ta toshdagi raqamlar orqali 13 sonini hosil qilish uchun 420 ta variant mavjud "xolos". Yana qolgan 5 ta toshdagi sonlardan 17 chiqarish uchun esa 780 ta variant mavjud. Shunday qilib, ushbu masala uchun 30 makroholatini olish imkonini beruvchi mikroholatlar miqdori "atiga" 327600 tani tashkil qiladi. Bu esa birinchi misoldagi 2930455 ta variantdan ancha kam. Ya'ni, endi bu safar, sizda sistema haqidagi ma'lumotlar birinchi misoldagidan ko‘ra ancha ko‘proq.
Biz entropiyani makroholatlarning sonini ifodalash uchun ishlatish mumkin bo‘lgan sonlar miqdori orqali o‘lchamoqdamiz. Matematik nuqtai nazardan ushbu miqdor logarifm tarzida aniqlanadi. Shu sababli ham, entropiyani S belgisi bilan belgilab, mikroholatlar sonini esa Ω bilan ifodalasak, entropiyani hisoblash uchun quyidagicha ifoda kelib chiqadi:
S=log Ω
Fizikadan yaxshi xabardor ziyrak mutolaachimiz bu formula Bolsman formulasining aynan o‘zi ekanini darhol fahmladi albatta. Agar makroholat uchun faqat bitta mikroholat varianti mavjud bo‘lsa, bunday sistemaning entropiyasi nolga teng bo‘ladi. Agar, qaralayotgan sistemalar soni ikkita bo‘lsa, ularning umumiy entropiyasi, sistemalarning har birining alohida holda olingan entropiyalarining yig‘indisiga teng bo‘ladi. Chunki, log(AB)=logA+logB
Yuqorida bayon qilinganlardan oydinlashmoqdaki, entropiyani sistemaning o‘z xossasi deb qarash to‘g‘ri bo‘lmaydi. Sistemaning o‘z ichki energiyasi, impulsi, zaryadi va ho kazo asl fizik xossalari bo‘lishi mumkin. Lekin, sistemaning o‘z entropiyasi bo‘lmaydi. o‘nta narda toshlarining entropiyasi ularni tashlagandan keyin tushgan sonlarning yig‘indisiga bog‘liq bo‘ladi. Boshqacha aytganda, entropiya bu - sistemani biz qanday bayon qilayotganimiz (ta'bir joiz bo‘lsa, sistemani biz o‘zimiz qanday idrok qilayotganimiz) ga bog‘liq bo‘ladi. Entropiyaning termodinamikadagi boshqa asosiy tushunchalardan yaqqol ajratib turuvchi jihati ham aynan shunda.
Fizikadan misollar: porshen ostidagi gaz.
Fizika kursida ko‘rib chiqiladigan ko‘hna misollardan biri - porshenli idish ichidagi gazdir. Gazning mikroholati - uning har bir molekulalarining vaziyati va impulsi (tezligi) hisoblanadi. Gazning makroholatni esa, uning bosimi, zichligi, hajmi va kimyoviy tarkibi singari xossalari bilan belgilanadi.

Gaz erkin siljiy oladigan porshen ichida
Makroholatni ifodalovchi kattaliklar "holat tenglamasi" orqali o‘zaro bog‘lanishi mumkin. Aynan ushbu bog‘liqlikning mavjudligi, sistemaning mikroholatini bilmasdan turib ham, uni qizdirilsa, yoki, porshen orqali siqilsa, sistemaning ahvoli nima kechishini bilish imkonini beradi. Ideal gaz uchun holat tenglamasi P=ρT ko‘rinishida bo‘ladi. Siz bunga o‘xshash yana bir tenglama - pV = νRT tenglamasini, ya'ni, Mendeleyev-Klayperon tenglamasini yaxshiroq bilarsiz. Lekin, ishonavering, biz yuqorida keltirgan tenglamaning ham ma'nosi aynan shunday. Faqat Mendeleyev-Klayperon tenglamasida qo‘shimcha ikkita konstanta mavjud (va o‘sha konstantalar odamni ko‘proq chalg‘itadi). Berilgan makroholat uchun javobgar mikroholatlar soni qanchalik ko‘p bo‘lsa, ya'ni, sistemadagi zarrachalar soni qanchalik ko‘p bo‘lsa, uning holatini tenglama orqali ifodalash sifati ham shunchalik yaxshi bo‘ladi. Gazlar uchun xos zarrachalar soni Avogadro soniga teng, ya'ni, 10²³ ni tashkil qiladi.
Bosim, harorat va zichlik kabi kattaliklar sistema uchun o‘rtacha qiymatda olinadi. Chunki, bu xossalar haqiqatan ham, sistemadagi bir-birini uzluksiz almashtirib turuvchi mikroholatlarining o‘rtacha qiymatlaridan iborat bo‘ladi. Sistemaning aynan qanday mikroholatda ekanini bilish uchun bizga favqulodda juda-juda ko‘p ma'lumot kerak bo‘ladi. Ya'ni, buning uchun biz sistemani tashkil qiluvchi har bir zarrachaning vaziyatini va tezligini aniq bilishimiz va shuning asosida umumiy sistema uchun qiymatlarni hisoblab chiqishimiz kerak bo‘ladi. Ushbu axborot miqdor entropiya deyiladi.
Makroholatning o‘zgarishi bilan entropiya qanday o‘zgaradi? Buni tushunish oson. Masalan, biz gazni qizdirsak, uni tashkil qiluvchi zarralarning tezligi ortadi. Tezlik oshgani sari, bizning zarrachalar haqidagi bilgan ma'lumotlarimiz kamayib boradi. Yoki, biz porshenni keskin ko‘tarish orqali hajmni orttirsak, gaz molekulalarining joylashuv vaziyati ham darhol o‘zgarib ketadi va ularning vaziyati haqidagi ma'lumotimiz yanada kamayadi. Ya'ni, bilmaganlarimiz ko‘payadi. Demakki, sistemaning entropiyasi biz ichida yana ortadi.