Diskret tosınarlı ózgeriwshiler

Diskret tosınarlı ózgeriwshiler

REJA:

1. Diskret tosınarlı muǵdardıń matematikalıq kutilishi. Matematikalıq kutilishning múmkinshiligıy mánisi.
2. Matematikalıq kutilishning ózgeshelikleri.
3. Erkli sınap kóriwlerde hádiyse júz beriw sanınıń matematikalıq kutilishi
4. Tosınarlı muǵdar tarqaqlıǵınıń sanı xarakteristikasini kirgiziwdiń maqsetke muwapıqlıǵı.
Ádebiyatlar

1. Diskret tosınarlı muǵdardıń matematikalıq kutilish.

X diskret tosınarlı muǵdardıń bólistiriw nızamı málim bolsa, bul tosınarlı muǵdardı tolıq xarakterleydi. Lekin ámelde tosınarlı muǵdardıń bólistiriw nızamı málim bo'lavermaydi yamasa tabıw júdá qıyın boladı. Bunday waqıtta bólistiriw nızamı ornına tosınarlı muǵdardı jıynama suwretleytuǵın sanlardan paydalanıw qolay boladı. Bunday sanlar tosınarlı muǵdardıń sanlı xarakteristikaları dep ataladı. Bular gápine matematikalıq kutilish, dispersiyasi hám orta kvadratik chetlanishlar kiredi. Kóp amalliy máselelerdi sheshiwde diskret tosınarlı muǵdardıń matematikalıq kutilishini biliw jetkilikli etedi. Mısalı eki futbolshınıń hár birewiniń oyın dawamında top urıwlar sanınıń matematikalıq kutilish málim bolsa hám qay-qaysısıniki úlken bolsa, sol oyınshı jaqsı esaplanadı.
Diskret tosınarlı muǵdardıń matematikalıq kutilishi dep, onıń barlıq múmkin bolǵan bahaların uyqas itimalları kóbeytpeleri jıyındısına aytıladı hám M (X) kóriniste belgilenedi.
M (X) =x1 r1+x2 r2+…. +xnpn
1-mısal X diskret tosınarlı muǵdar tómendegi bólistiriw nızamı menen berilgen.
X tosınarlı muǵdardıń matematikalıq kutilishini tabıń.
Sheshiw: Diskret tosınarlı muǵdardıń matematikalıq kutilishini tariypiga tiykarlanıp.
M (X) = X1 R1+ X2 R2+ X3 R3=1, 2+3, 5+5, 3=0, 2+1, 5+1, 5=3, 2
Takidlaymizki diskret tosınarlı muǵdardıń matematikalıq kutilishi tosınarlı muǵdar emes, bálki ózgermeytuǵın muǵdar bolıp tabıladı.
Kelesinde birpara teoremalarni tastıyıqlawda isletiletuǵın bir teoriyalıq máseleni kóremiz.
2-mısal : A hádiysediń júz beriw múmkinshiligı Rga teń bolsa, bir sınap kóriwde A hádiysediń júz beriw sanınıń matematikalıq kutilishini tabıń.
Sheshiw: Ayqınki A hádiyse ústinde bir sınaq ótkerilgende ol júz beredi. (X1=1) yamasa júz bermeydi. (X2=0), yaǵnıy
yamasa M (X) =1 +0 1-R) =R
Sonday eken bir sınap kóriwde hádiysediń júz beriw sanınıń matematikalıq kutilishi sol hádiysediń múmkinshiligına teń.
Endi matematikalıq kutilishning itimallar teoriyası daǵı mánisin úyreneylik: A hádiyse ústinde n ta sınap kóriw ótkerilip atırǵan bolıp, A hádiysediń júz beriw sanınan ibarat bolǵan X tosınarlı muǵdar m1 ret X1 baha, m2 ret X2 baha hám taǵı basqa mk ret Xk baha qabıl qilsin. Ol halda X tosınarlı muǵdardıń qabıl etken bahalarınıń jıyındısı X1 m1+X2 m2+…. +Xnmk ga teń boladı.
Endi X-tosınarlı muǵdardıń qabıl etken bahalarınıń ortashasın tapsak.
=
Ayqınki:, … X1, X2, …Xk bahalarınıń qabıllawınıń W1, W2…. Wk salıstırmalı chastotaları bolıp tabıladı, yaǵnıy
=x1 W1+ x2 W2… xkWk
Ekenin aytıw kerek sınap kóriwler sanı jetkiliklishe úlken bolǵanda salıstırmalı chastota shama menen hádiysediń júz beriw múmkinshiligına teń, yaǵnıy Wk Rk
Sonday eken: ≈ x1 R1+ x2 R2+…+ xkRk=M (X)
Sonday eken matematikalıq kutilishning múmkinshiligıy mánisi tosınarlı muǵdarınıń kuzatilayotgan bahalardıń ortasha arifmetigidan ibarat eken.
Matematikalıq kutilish tosınarlı muǵdardıń eń kishi ma`nisinen úlken hám eń úlken qimatidan kishiligi ayqın. “Matematikalıq kutilish” termininiń kelip shıǵıwı XvI-XvII asirde qumar oyınlarınıń rawajlanıwı menen baylanıslı bolıp, ol qumarpazdıń ortasha jetiskenligi ma`nisin ańlatadı.
2. Matematikalıq kutilishning ózgeshelikleri.
Matematikalıq kutilishning ózgesheliklerin keltiriwden aldın diskret tosınarlı muǵdardıń bólistiriw nızamı ústinde atqarılatuǵın ámeller menen tanısamız X, Y diskret tosınarlı muǵdarlar óz bólistiriw nızamları menen berilgen bolsın.
bul waqıtta diskret tosınarlı muǵdardıń bólistiriw nızamları ústinde tómendegi ámellerdi orınlaw múmkin.
1. 2.
X hám Y diskret tosınarlı muǵdarlar erkli bolsın, yaǵnıy birning bólistiriw nızamı ekinshisiniń qanday baha qabıl etkenligine baylanıslı bolmaydıin.
Erkli X hám Y tosınarlı muǵdarlardıń kóbeymesi dep, sonday
X Y tosınarlı muǵdarǵa aytamizki, onıń múmkin bolǵan bahaları X dıń múmkin bolǵan hár bir ma`nisin Y dıń mumki bolǵan hár bir ma`nisine kópaytirilganiga teń, yaǵnıy
menshikli halda X=Y bolsa
Endi matematikalıq kutilishning ózgesheliklerin keltiremiz:
1. Ózgermeytuǵın muǵdardıń matematikalıq kutilishi sol ózgermeytuǵındıń ózine teń:
M (S) =S
2. Ózgermeytuǵın kópaytuvchining matematikalıq kutilish belgisi tısqarısına shıǵarıw múmkin.
M (SX) =SM (X)
3. Eki erkli X hám Ytasodifiy muǵdarlar kóbeymesiniń matematikalıq kutilishi olardıń matematikalıq kutilishlari kóbeymesine teń.
M (X ) =M (X)
Nátiyje. Bir neshe óz-ara erkli tosınarlı muǵdarlar kóbeymesiniń matematikalıq kutilishi matematikalıq kutilishlarni kóbeymesine teń:
M (X z) =M (X) (Z)
4. Eki tosınarlı muǵdar jıyındısınıń matematikalıq kutilishi qosıluvchilarning matematikalıq qutilar jıyındısına teń:
M (X+Y) =M (X) +M (Y)
Mısal : X hám Y diskret tosınarlı muǵdarlar tómendegi bólistiriw nızamları menen berilgen:

Tómendegi 3 X, X+Y, X, X2 diskret tosınarlı muǵdarlardıń bólistiriw nızamın dúziń:

Sheshiw:
X hám Y tasodiqiy muǵdardıń 7 ma`nisin qabıllaw 3+4 hám 1+6 birgelikte bolmaǵan hádiyseler bolǵanınan, birgelikte bolmaǵan hádiyselerdiń itimallarınıń qosıw teoremasiga tiykarlanıp R (X+Y=7) =0, 35+0, 09=0, 44
Sonday etip X+Y tosınarlı muǵdarlardıń bólistiriw nızamı tómendegi kóriniste boladı.
Endi X2 diskret tosınarlı muǵdardıń bólistiriwi nızamın dúzemiz.
3. Erkli sınap kóriwlerde hádiyse júz beriw sanınıń matematikalıq kutilishi
A hádiyse ústinde n ta erkili sınaq ótkeriliyotgan bolıp olardıń hár birinde A hádiysediń júz beriw múmkinshiligı ózgermeytuǵın hám R ga teń bolsın. N ta sınaqta a hádiysediń júz beriwler sanı X diskret tosınarlı muǵdar bolıp, onıń matematikalıq kutilishini diskret tosınarlı muǵdardıń bólistiriw nızamın tuzib sungra tabıw quramalı hám qolaysız bolıp tabıladı. Bunday waqıtta onıń matematikalıq kutilishini tómendegi teorema járdeminde júdá ańsat tabıw múmkin.
Teorema: n ta erkli sınap kóriwde A hádiyse júz beriw sanınıń matematikalıq kutilishi sınap kóriwler sanın hár bir sınap kóriwde hádiysediń júz beriw múmkinshiligına kópaytirilganiga teń:
M (X) = nr
Mısal : Toptan úzilgen o'qning nıshanǵa tiyiw múmkinshiligı R=0, 7 ge teń. Eger nıshanǵa 100 dane kósher otilgan bolsa, nıshanǵa tiyiwler sanınıń matematikalıq kutilishi tabılsın.
Sheshiw: n=100, r=0, 7 bolǵanınan M (X) = nr=100 =70
4. Tosınarlı muǵdar tarqaqlıǵınıń sanlı xarakteristikasini kirgiziwdiń maqsetke muwapıqlıǵı.
Matematikalıq kutilishlari birdey, lekin múmkin bolǵan bahalar hár túrlı bolǵan tosınarlı muǵdarlardı kórsetiw múmkin.
Tómendegi bólistiriw nızamları menen berilgen X hám Y diskret tosınarlı muǵdardı kóreylik.
Bul eki tosınarlı muǵdardıń da matematikalıq kutilishlari birdey, M (X) =M (Y) =0 bolıp, múmkin bolǵan bahaları bolsa hár túrli bolıp tabıladı, bunnan tashkari X dıń bahaları onıń matematikalıq kutilishiga jaqın, Y niki bolsa talay uzaq. Bunnan usıdan ayqın boladı tosınarlı muǵdardıń tek ǵana matematikalıq kutilishini bilgen halda onıń qanday bahalar qabıllawı múmkinligin biliw mukin emes, sonıń menen birge bul bahalardı matematikalıq kutilish átirapında qanshellilik tıǵız jaylasqanın biliw de qıyın. Basqasha aytqanda tosınarlı muǵdardıń matematikalıq kutilishi onı tolıq xarakterlamaydi. Usınıń sebepinen matematikalıq kutilish menen bir qatarda basqa sanlı xarakteristikalar da kiritiledi hám ámeliyatda qollanıladı, olar tosınarlı muǵdardıń óziniń matematikalıq kutilishidan chetlanishi túsinigi bolıp tabıladı.
5. Tosınarlı muǵdardıń óziniń matematikalıq kutilishidan chetlanishi.
X tosınarlı muǵdar berilgen bolıp, M (X) onıń matematikalıq kutilishi bolsın. X-M (X) jańa tosınarlı muǵdardı qaraymız.
Shetlanish dep, tosınarlı muǵdar menen onıń matematikalıq kutilishi arasındaǵı ayırmaǵa aytıladı.
X diskret tosınarlı muǵdardıń bólistiriw nızamı
bolsa, chetlanishning bólistiriw nızamı kóriniste boladı.
Teorama: Shetlanishning matematikalıq kutilishi nolge teń, yaǵnıy
M (X-M (X)) =0
Tastıyıq : Rasında
M (X-M (X)) =M (X)-M[ (X) ]=M (X)-M (X) =0
6. Diskret tosınarlı muǵdardıń dispersiyasi jáne onıń ózgeshelikleri.
Ámeliyatda máseler sheshiwde tosınarlı muǵdardıń múmkin bolǵan bahaların onıń ortasha baha átirapında tarqaqligani bahalaw talap etiledi, mısalı jerge túsip atırǵan kosmik kemaning móljelǵa túsiwinde belgilegen jerden qansha chetlanishini biliw zárúrli bolıp tabıladı. Bóliniwdı bahalaw ushın tosınarlı muǵdar chetlanishi jaramaydı, sebebi M (X-M (X)) =0 álbette bul maqsette chetlanishning absalyu ma`nisinen paydalanıw múmkin yamasa onıń kvadratın ortashasınan paydalanıw múmkin. Ámeliyatda chetlanish kvadrattıń ortashası tabıladı jáne onı tosınarlı muǵdardıń dispersiyasi dep ataladı.
Diskret tosınarlı muǵdardıń dispersiyasi dep, tosınarlı muǵdardıń óziniń matematikalıq kutilishidan chetlanishi kvadrattıń matematikalıq kutilishiga aytıladı.
D (X) =M[X-M (X) ]2
Eger diskret tosınarlı muǵdar óziniń bólistiriw nızamı menen berilgen bolsa, yaǵnıy
bul waqıtta chetlanish kvadratı tómendegi bólistiriw nızamına iye boladı.
Bul waqıtta D (X) =M (X-M (X)) 2= (x1-M (X)) 2 R1+ (x2-M (X)) 2 R2+…+ (xn-M (X)) 2 Pn
Tosınarlı muǵdardıń dispersiyasi tómendegi hossalarga iye:

1. Ózgermeytuǵın muǵdardıń dispersiyasi nolge teń:

D (S) =0
Rasında D (S) =M (S-M (S)) 2=M (S-S) 2=M (O) =0

2. Ózgermeytuǵındı dispersiyadan kvadratqa kóterip shıǵarıw múmkin, yaǵnıy

D (SX) =S2 D (X)

3. Eki erkli tosınarlı miidorning dispersiyasi sol tosınarlı muǵdarlar dispersiyasining jıyındısına teń:

D (X+Y) =D (X) +D (Y)
Nátiyje.
D (X-Y) =D (X) +D (Y), D (S+X) =D (X).
7. Dispersiyani esaplaw formulası.
Erkli sınap kóriwlerde xodisa júz beriw sanınıń dispersiyasi.
Teorema. Dispersiya X tosınarlı muǵdar kvadratınıń matematikalıq kutilishidan Xning matematikalıq kutilishi kvadratın ayirilganiga teń:
D (X) =M (X2)-[M (X) ]2
Rasında D (X) =M (X-M (X)) 2=M)-[X2-2*M (X) +M2 (X) ]=M (X2)-
-2 M (X) M (X) +M2 (X) =M (X2)-M2 (X)
Mısal. Tómendegi bólistiriw nızam menen berilgen diskret tosınarlı muǵdardıń dispersiyasini tabıń :

X 1 3 5
R 0, 2 0, 3 0, 5

Sheshiw. Berilgen X kútilmegen jaǵdaynı muǵdardıń dispersiyasini, dispersiya tariypiga tiykarlanıp hám keltirip shıǵarılǵan formula járdeminde tabamız :

1. D (X) ni tariypga tiykarlanıp esaplaymiz, onıń ushın X tosınarlı muǵdardı matematikalıq kutilishini tabamız hám (X-M (X)) 2 kútilmegen jaǵdaynı muǵdardıń bólistiriw nızamı dúzemiz:
M (X) =1*0, 2+3*0, 3+5*0, 5=0, 2+0, 9+2, 5=3, 6
D (X) = (1-3, 6 ) 2*0, 2+ (3-3, 6 ) 20, 3+ (5-3, 6 ) 2 =6, 76*0, 2+0, 36*0, 3+1, 96*0, 5=
=1, 352+0, 108+0, 98=2, 44

2. Endi D (X) ni shıǵarılǵan formula boyınsha esaplaymiz; onıń ushın M (X2) ni esaplaymiz.

D (X) =M (X2)-(M (X)) 2=15, 4-12, 96=2, 44
Eger A xodisa ústinde n ta erkli sınaq ótkerilip atırǵan bolıp, hár bir sınaqta xodisaning júz beriwler sanın X kútilmegen jaǵdayı muǵdar bolsa, onıń dispersiyasini tómendegi teorema járdeminde tabıw múmkin:
Teorema: n ta erkli sınaqta A hádiyse júz beriwler sanınıń dispersiyasi sınap kóriwler sanınıń hár bir sınap kóriwde xodisaning júz beriw hám júz bermaslik itimallarınıń kóbeymesine teń:
8. Orta kvadratik chetlanish.
X tosınarlı muǵdardıń matematikalıq kutilish átirapında qanshellilik tarqaqlıǵın bahalaw ushın taǵı bir sanlı xarakteristika, ortasha kvadratik chetlanish túsinigi isletiledi.
X tosınarlı muǵdardıń ortasha kvadratik chetlanishi dep, onıń dispersiyasining kvadrat túbirine aytıladı hám menen belgilenedi: =
Dispersiyaning ólshewi kvadratda shıǵadı, ortasha kvadratik chetlanishning ulchovi birinshi dárejeli bolıp, X kútilmegen jaǵdayı muǵdardıń ólshewi menen birdey boladı.
1-mısal. Bólistiriw nızamı
X 3 5 7
R 0, 5 0, 3 0, 2
bolǵan diskret tosınarlı muǵdardıń ortasha kvadaratik chetlanishini tabıń.
Sheshiw: Áwele X diskret tosınarlı muǵdardıń dispersiyasini tabamız :

2-mısal. Mergen nıshanǵa kósher atıp atır. O'qni nıshanǵa tiyiw múmkinshiligı r=0, 7 bolsa, 100 ta otilgan o'qni nıshanǵa tiyiwler sanın ortasha kvadratik chetlanishini tabıń.

Sheshiw. X o'qni nıshanǵa tiyiwler sanı bolıp, bul jerde 100 ta qayta sınaq ótkerilmekte. Usınıń sebepinen D (X) =prq=pr (1-r) =100*0, 7*0, 3=21; M (X) =pr=100*0, 7=70 bolǵanınan nıshanǵa tekkan oqlar sanı (65, 75) oralig'da boladı.
9. Bólistiriw momentleri haqqında túsinik.
Tosınarlı muǵdar óziniń tómendegi bólistiriw nızamı menen berilgen bolsın.
X 3 5 50
R 0, 5 0, 4 0, 1
bul waqıtta
M (x2) baha M (X) ga salıstırǵanda ádewir ulken ekenligin kórip turıpmız. Bul X2 dıń X-dıń x=50 ge uyqas ma`nisine kvadratqa asırılǵanda 2500 ge teń baha sáykes keliwin, sol ma`nisiniń bolsa júdá kishiligi menen tusintiriledi. Eger X kútilmegen jaǵdaynı muǵdardıń baha qabıllaw itimalları kishi bolıwı menen birge úlkenleri de bolsa, x2 ge yamasa X3, X4 v. h bahalarǵa ótiw arqalı kishi itimallı bahalardıń sezilerli qılıw, yaǵnıy rolin asırıw imkaniyatın beredi. Usınıń sebepinen tosınarlı muǵdarlardıń pútkil oń dárejelerin matematikalıq kutilishlarini tekseriw áhmiyetli bolıp tabıladı.
X tosınarlı muǵdardıń k-tártipli baslanǵısh momenti dep, Xk muǵdardıń mamentik kutilishiga aytıladı hám kórinisinde belgilenedi:
Mısalı
Bunnan usıdan ayqın boladı
X tosınarlı muǵdardıń momentlerinen tısqarı X-M (X) chetlanishning momentleri túsinigin kirgiziw hám úyreniw áhmiyetli bolıp tabıladı.
X tosınarlı muǵdardıń k-tártipli oraylıq momenti dep, (X-M (X)) k muǵdardıń atematik kutilishiga aytıladı
Baslanǵısh hám oraylıq momentler arasında tómendegi baylanısıwlar bar ekenligin tastıyıqlaw qıyın emes:
Ádebiyatlar
1. S. X. Sirojiddinov, M. M. Mamatov Itimallar teoriyası hám matematikalıq statistika. T. 1980 jıl.
2. V. Ye. Gmurman- Itimallar teoriyası hám matematikalıq statistika. T. 1977 jıl.
3. V. Ye. Gmurman -Itimallar teoriyası hám matematikalıq statistikadan máseleler sheshiwge tiyisli qóllanba. T. 1980 jıl.
4. B. M. Rudik,- Obshiy kurs visshey matematikalıqı dlya ekonomistov. M. 2004 g.
5. A. I. Karasev, Z. M. Aksyutina, T. I. Savl'eva- Kurs visshey matematikalıqı dlya ekonomicheskix vuzov. M. 1982 g.
6. B. Gnedenko, A. Ya. Xinchin- Elementarnoe vvedeniya v teoriyu veroyatnostey M. 1976 g.