Diskret va uzluksiz dinamik sistemalar haqida

---

Diskret va uzluksiz dinamik sistemalar haqida 
Madina Nutfulloyevna Tulayeva 
Buxoro davlat universiteti 
 
Annotatsiya: Mazkur maqolada dinamik sistemalar haqida umumiy 
ma’lumotlar taqdim qilingan. Dinamik sistemalarga oid bir nechta misolar keltirilgan. 
Biologik jarayonning matematik modelini keltirib chiqarish va uni xossalari 
tushuntirib o‘tilgan. Asosiy e’tibor barcha misollarni keng ommaga tushunarli 
ravishda yoritishga qaratilgan. 
Kalit so’zlar: dinamik sistemalar, diskret dinamik sistemalar, eksponensial 
funksiya, iteratsiya, limit, kvadratik funksiya, populyatsiyaning o’sishi va kamayishi, 
differensial tenglamalar. 
Discrete and continuous dynemic systems 
Madina Nutfulloevna Tulaeva 
Bukhara State University 
 
Abstract: This article provides general information about dynamic systems. 
Here are some examples of dynamic systems. A mathematical model of a biological 
process is created and its properties are explained. The main focus is to cover all the 
examples in an understandable way for the general public. 
Keywords: dynamic systems, discrete dynamic systems, exponential function, 
iteration, limit, quadratic function, population growth and decrease, differential 
equations. 
Mazkur yo‘nalishda o‘zbek olimlari O‘.A.Roziqov va U.U.Jamilovlar 
tomonidan bir qator ijobiy ilmiy natijalarga erishilgan [1-3]. Ushbu maqolani 
tayyorlashda ular tomonidan bakalavriyat va magistratura bosqichlarida talabalarga 
o‘qigan ma’ruzalari va taqdimotlaridan foydalanilgan. 
Fizika, biologiya, ximiya, informatika va iqtisodiyotdagi jarayonlarning 
matematik modellari dinamik sistemalar orqali ifodalanadi. Dinamik sistemalar 
chiziqli (nochiziqli) avtonom (avtonom bo‘lmagan) differensial tenglamalar 
sistemalari orqali berilishi mumkin. 
Dastlab, dinamik sistemalar texnik va tabiiy-ilmiy masalalarni matematik 
modellarini o‘rganishda qo‘llanilgan. Keyinchalik bu kabi qonuniyatlarni 
meteorologik, iqtisodiy, moliyaviy va ijtimoiy sistemalarni holatini aniqlashda ham 
"Science and Education" Scientific Journal / Impact Factor 3.567 (SJIF) November 2022 / Volume 3 Issue 11
www.openscience.uz / ISSN 2181-0842
59

---

foydalanilishi mumkinligi aniqlangan. Murakkab xo‘jalik sistemalar ushbu aytib 
o‘tilgan barcha yo‘nalishlarni qamrab oladi. Masalan, energetika apparatlarini 
dinamik holati ularning texnik jihatlarini, energiya uzatish sistemasini, meteorologik 
vaziyatni o‘zaro bog‘likligini o‘z ichiga oladi. Agarda vaziyatni o‘rganishda 
xatolikka yo‘l qo‘yilsa, ijtimoiy muhitdagi turg‘unlikni yo‘qolishiga olib kelishi 
mumkin. 
Turli 
evolyusion 
jarayonlar 
dinamik 
sistemalar 
orqali 
matematik 
modellashtiriladi. Xususan, biologiyada populyasiya evolyusiyasining matematik 
modeli kvadratik stoxastik operatorlar orqali ifodalanadi.
Biologik sistema evolyusiyasi jarayonida har xil tipdagi individlarning 
chegaralangan taqsimotini topish muammosi kvadratik stoxastik operatorning 
asimptotik xususiyatlarini o‘rganilishiga tengdir. Bundan tashqari, kvadratik stoxastik 
operatorlar nazariyasida oddiy va nostandart masalalar hamda echilmagan 
masalalarning ko‘pligi matematik nuqtai-nazardan katta qiziqish uyg‘otadi. 
Eng avvalo dinamik sistemaning ta’rifini keltiraylik. Dinamik sistema - bu 
haqiqiy jarayon (fizik, biologik, iqtisodiy va boshqalar) evolyusiyasining matematik 
modeli bo‘lib, har qanday vaqtda ham holati o‘zining dastlabki holati bilan 
aniqlanadi. Dinamik sistemalarning evolyusiya qonunining berilishi turlicha bo‘ladi: 
chiziqli yoki nochiziqli differensial tenglamalar, diskret akslantirishlar, graflar 
nazariyasi, Markov zanjirlari nazariyasi, muvozanatda bo‘lmagan termodinamika 
nazariyasi, dinamik xaoslar nazarariyasi, sinergetika va boshqalar 
Shu o‘rinda talabalarga tushunilishi juda oson bo‘ladigan misollar yordamida 
dinamik sistemalar haqida tushunchalarni va ta’rifini keltiramiz. Jumladan, sodda 
dinamik sistemalarga bir necha misollar keltiramiz. Bu misollar orqali haqiqiy 
hayotda dinamik sistemalar qanday duch kelishini va tabiatdagi ro’y beradigan sodda 
hodisalarning murakkab dinamik sistemalarni paydo qilishini ko’rsatamiz.
Bu holda asosiy savol: dinamik sistemalar nima? Bu savolga javobni 
quyidagicha sodda usulda beramiz: biror ilmiy kalkulyatorni olamiz va unga ixtiyoriy 
bir sonni kiritamiz. So’ngra biror funksiya tugmasini qayta-qayta bosaveramiz. 
Mazkur ketma-ket bajargan jarayonimiz diskret dinamik sistemaga misol bo’ladi. 
1-misol: Misol uchun biror 
𝑥 sonni kiritib, ketma-ket «exp» (eksponensial) 
tugmasini bosaversak, quyidagi sonlar, ketma-ketlik hosil bo’ladi: 
𝑥, 𝑒
𝑥
, 𝑒
𝑒 𝑥
, 𝑒
𝑒𝑒 𝑥
, … 
Ya’ni biz eksponensial funksiyani iteratsiya qilgan bo’lamiz. 
Agar biz yuqoridagi tajribamizni davom ettiraversak, kalkulyator ekranida 
overflow (diapazondan tashqari) yozuvi chiqadi, ya’ni 𝑒
𝑥
funksiyaning yetarli ko’p 
iteratsiyalarida 
∞ ketishi kelib chiqadi. 
Bizga biror 
𝑋 ⊂ 𝑅, ixtiyoriy 𝑓: 𝑋 → 𝑋 funksiya va 𝑥
0
dastlabki qiymat berilgan 
bo’lsin.
"Science and Education" Scientific Journal / Impact Factor 3.567 (SJIF) November 2022 / Volume 3 Issue 11
www.openscience.uz / ISSN 2181-0842
60

---

𝑥
0
, 𝑓(𝑥
0
), 𝑓
2
(𝑥
0
) = 𝑓(𝑓(𝑥
0
)), 𝑓
3
(𝑥
0
) = 𝑓 (𝑓(𝑓(𝑥
0
))) , … 
ketma-ketlikni hosil qilamiz. 
Endi yuqoridagi 1-misolda ko’rgan faktdan quyidagi muhim savolga kelamiz: 
𝑓
𝑛
(𝑥
0
) iteratsiyaning oxirida nima bo’ladi? 
Yoki boshqacha qilib aytganda berilgan 
𝑓(𝑥) funksiya va 𝑥
0
dastlabki qiymat 
uchun
lim
𝑛→∞
𝑓
𝑛
(𝑥
0
) =? 
limitni qiymatini topish mumkinmi?
2-misol. Boshqa misolni qaraylik, masalan 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 funksiyani olaylik. 
Ixtiyoriy 
𝑥
0
qiymatni tanlaganda ham kalkulyatorning 
𝑠𝑖𝑛𝑥 tugmasini ketma-ket 
bosish natijasida 
𝑓
𝑛
(𝑥
0
) ketma-ketlikning qiymatlarining 0 ga yaqinlashib borishiga 
ega bo’lamiz. 
3-misol. Keyingi yana bir misolni ko’rib chiqamiz. Agar 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
funksiyani olsak, har qanday 
𝑥
0
qiymatni tanlaganda ham kalkulyatorning 
𝑐𝑜𝑠𝑥 
ketma-ket bosish natijasida 
𝑓
𝑛
(𝑥
0
) ketma-ketlikning qiymatlarining 1 ga yaqinlashib 
borishini ko’rishimiz mumkin. 
Yuqoridagi oxirgi 2 va 3-misollardan xuddi berilgan 
𝑓(𝑥) funksiyaning har 
qanday dastlabki 
𝑥
0
qiymat olinganda ham yagona chekli limitga ega bo’lishi kelib 
chiqadigandek tasavvur paydo bo’ladi. Ammo bu aslo bunday emas, hattoki eng 
sodda kvadratik funksiyalarda ham ketma-ketlikning limiti haqida aniq bir tasdiqni 
ayta olmaymiz.
4-misol. 
𝑓(𝑥) = 3.839 × (1 − 𝑥) funksiya olamiz. Ma’lumki 𝑓(1) = 𝑓(0) = 0 
va ixtiyoriy 
𝑥
0
∈ (0, 1) qiymatni kiritsak, iteratsiyani qursak, ketma-ketlik 
0,149888…, 0,489172… va 0,959299… sonlaridan iborat bo’lgan uchlikka 
yaqinlashib boraveradi.
5-misol. Endi 3,839 ni 4 ga almashtiramiz, ya’ni 
𝑓(𝑥) = 4 × (1 − 𝑥) funksiya 
olamiz. Ravshanki 
𝑓(1) = 𝑓(0) = 0 va ixtiyoriy 𝑥
0
∈ (0, 1)qiymatni kiritsak, 
ketma-ketlik turli sonlarga yaqinlashgandek bo’ladi, ya’ni 
𝑥
0
o’zgartirsak boshqa bir 
yangi songa yaqinlashib boraveradi. 
Ma’lumotlar bo’yicha dastlabki xulosa shundan iboratki, demak biror 𝑓(𝑥) 
funksiya va ixtiyoriy 
𝑥
0
qiymatni tanlasak, hamda funksiyaning 
{𝑓
𝑛
(𝑥
0
)}, 𝑛 =
0, 1, 2, … iteratsiyani qursak, hosil bo’lgan ketma-ketlikning limit nuqtalar to’plami 
yoki yagona nuqtadan yoki cheklita nuqtalardan yoki cheksiz ko’p nuqtalardan iborat 
bo’lishi mumkin ekan. 
Yuqorida aytib o‘tganimizdek, biologik jarayonlarning (masalan individlarning 
populyasiyasi) matematik modellari kvadratik stoxastik operatorlar (diskret vaqtli 
dinamik sistemalar, uzluksiz vaqtli dinamik sistemalar), oddiy va xususiy hosilali 
differensial operatorlar orqali ifodalanadi.
"Science and Education" Scientific Journal / Impact Factor 3.567 (SJIF) November 2022 / Volume 3 Issue 11
www.openscience.uz / ISSN 2181-0842
61

---

Olimlar tomonidan turli hayvonlarning populyasiyasi o‘rganilgan. Jarayonlar 
asosan diskret vaqtli dinamik sistemalar orqali ifodalanib, bir qator natijalar olingan. 
Yuqorida ko’rilgan 1-5-misollar diskret dinamik sistemalardir. Quyida bir nechta 
rasmlarni keltiramiz. Ulardan modellarni tuzish sxemasini o‘rganish mumkin. 
Quyonlar populyatsiyasi 
Yovvoyi hayvonlar populyatsiyasi 
Yuqorida ko’rilgan diskret dinamik sistemalardan boshqa turli dinamik 
sistemalar ham mavjud. Misol uchun differensial tenglamalar bilan berilgan 
sistemalar uzluksiz dinamik sistemalarga misol bo’ladi. 
Uzluksiz dinamik sistemalar ko’pgina fanlarda keltiriladi, masalan fizikaning 
klassik mexanika sohasidagi differentsial tenglamalardan boshlab, matematik iqtisod 
va biologiyadagi differentsial tenglamalarni keltirish mumkin. 
"Science and Education" Scientific Journal / Impact Factor 3.567 (SJIF) November 2022 / Volume 3 Issue 11
www.openscience.uz / ISSN 2181-0842
62

---

Dinamik sistemalar o‘rganilayotgan jarayondan kelib chiqib, diskret vaqtli va 
uzluksiz vaqtli sistemalarga ajratiladi. An’anaviy ravishda kaskadlar deb ataladigan 
diskretli vaqtli sistemalarda sistemaning hatti-harakatlari (yoki bir xil bo‘lsa, fazali 
fazosidagi sistemaning traektoriyasi) holatlar ketma-ketligi bilan tavsiflanadi. 
An’anaviy ravishda oqim deb ataladigan uzluksiz vaqtli dinamik sistemalarda 
sistemaning holati vaqtning har bir lahzasi uchun aniqlanadi. Kaskadlar va oqimlar 
ramziy va topologik dinamikalarda ko‘rib chiqiladigan asosiy mavzu hisoblanadi. 
Dinamik sistema (uzluksiz vaqtli) ko‘pincha ma’lum bir sohada aniqlangan, 
mavjudlik va yagonalik teoremasining shartlarini qanoatlantiradigan avtonom 
differensial tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi. Dinamik sistemaning 
muvozanat holati differensial tenglamaning kritik (singulyar, qo‘zg‘almas) 
nuqtalariga, yopiq fazali egri chiziqlari esa uning davriy echimlariga to‘g‘ri keladi. 
Biz populyatsion biologiyada uchraydigan sodda misolni qarashdan boshlaymiz.
Biologlar populyatsiyadagi individlar (yirtqichlar, o’ljalar, bakteriyalar, jinslar 
nisbati, oziqa zahirasini) miqdoridagi o’zgarishlarini tavsiflash maqsadida tajriba va 
kuzatishlar natijasida olingan parametrlarga asoslanib matematik model qurishadi. Bu 
modellar populyatsiyada o’zgarishlar uzluksiz yoki diskret turda, ya’ni uzluksiz 
davom etishi yoki yilda bir marta sodir bo’lishi yoki ma’lum davrda (avlodda) sodir 
bo’lishiga qarab turib, differentsial tenglamalar yoki ayirmali tenglamalar 
ko’rinishida ifodalanishi mumkin. 
Qanday model olinishidan qat’iy nazar populyatsiyadagi dastlabki holatidagi 
individlar miqdori 
𝑃
0
ni bilgan holda populyatsiyani kelajagida nima sodir bo’lishi 
qiziqtiradi. Populyatsiyadagi individlar soni kamayib borib yo’qolib ketadimi? Yoki 
populyatsiyadagi individlar soni ko’payib borib populyatsiya cheksiz kattalashib 
ketadimi? Populyatsiyadagi o’zgarishlar davriy bo’lib boradimi yoki tasodifiy bo’lib 
qoldimi? 
Asosiy muammo quyidagicha: Shunday qilib biologlar dinamik sistemalarning 
asosiy muammosi: berilgan 
𝑃
0
soni uchun populyatsiyaning kelajagini bashorat qilib 
bo’ladimi? - degan muammoga duch kelishadi. 
1-sodda biologik model. Ko’pgina sodda biologik modellar oddiy differentsial 
tenglamalar bilan ifodalanadi. Masalan, eksponential o’sish modelini olaylik. Bu 
modelda populyatsiyadagi o’zgarishlar populyatsiyaning hozirgi holatidagi individlar 
soniga proportsional bo’ladi, deb faraz qilinadi, ya’ni: 𝑃(𝑡) bilan populyatsiyaning 𝑡 
vaqtdagi individlar sonini belgilasak
𝑑𝑃(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃(𝑡) 
tenglamaga ega bo’lamiz.
𝑑𝑃(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃(𝑡) ⇒ 𝑃(𝑡) = 𝑃
0
∙ 𝑒
𝑘𝑡
, 𝑃
0
= 𝑃(0). 
"Science and Education" Scientific Journal / Impact Factor 3.567 (SJIF) November 2022 / Volume 3 Issue 11
www.openscience.uz / ISSN 2181-0842
63

---

Qaralayotgan populyatsiya uchun quyidagilar o’rinli: 
1) Agar 
𝑘 < 0 bo’lsa, u holda 
lim
𝑡→∞
𝑃(𝑡) = lim
𝑡→∞
𝑃
0
∙ 𝑒
𝑘𝑡
= 0,
ya’ni populyatsiya yo’qolib ketadi; 
2) Agar 
𝑘 = 0 bo’lsa, u holda
lim
𝑡→∞
𝑃(𝑡) = lim
𝑡→∞
𝑃
0
∙ 𝑒
𝑘𝑡
= 𝑃
0
, 
ya’ni populyatsiya o’zgarmaydi;
3) Agar 
𝑘 > 0 bo’lsa, u holda
lim
𝑡→∞
𝑃(𝑡) = lim
𝑡→∞
𝑃
0
∙ 𝑒
𝑘𝑡
= ∞, 
y’ani populyatsiya cheksiz ko’payib ketadi.
Ushbu modelni diskret holda qaraganda: 
𝑃
𝑛
bilan populyatsiyadagi 
𝑛 avloddagi 
individlar sonini belgilaymiz. Populyatsiyadagi o’zgarishlar populyatsiyadagi 
individlar soniga proporsional bo’lishidan quyidagiga ega bo’lamiz:
𝑃
𝑛+1
= 𝑘𝑃
𝑛
bu yerda k konstanta 
⇒ 𝑃
1
= 𝑘𝑃
0
, 𝑃
2
= 𝑘𝑃
1
= 𝑘
2
𝑃
0
,
𝑃
3
= 𝑘𝑃
2
= 𝑘
3
𝑃
0
, … , 𝑃
𝑛
= 𝑘𝑃
𝑛−1
= 𝑘
𝑛
𝑃
0
, … 
Qaralayotgan populyatsiya uchun quyidagilar o’rinli: 
1) Agar 
0 < 𝑘 < 1 bo’lsa, u holda 
lim
𝑛→∞
𝑃
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑘
𝑛
𝑃
0
= 0; 
2) Agar 
𝑘 = 1 bo’lsa, u holda 
lim
𝑛→∞
𝑃
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑘
𝑛
𝑃
0
= 𝑃
0
; 
3) Agar 
𝑘 > 1 bo’lsa, u holda 
lim
𝑛→∞
𝑃
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑘
𝑛
𝑃
0
= ∞. 
𝑥 = 𝑃
0
va 
𝑓(𝑥) = 𝑥 belgilashlarni olsak, yuqoridagilarni quyidagicha 
ifodalanadi:
𝑃
1
= 𝑓(𝑥), 𝑃
3
= 𝑓
2
(𝑥), 𝑃
3
= 𝑓
3
(𝑥), . . . , 𝑃
𝑛
= 𝑓
𝑛
(𝑥), … . 
Faraz qilaylik populyatsiyadagi individlar soni uchun L yuqori chegara mavjud 
bo’lsin. Masalan, ozuqa yetishmasligi yoki hududga sig’may qolish kabi shartlar 
bo’lganda bunday modeldan foydalaniladi. Populyatsiyaning o’zgarishi yana 
populyatsiyaning hozirgi individlar soniga proporsional bo’ladi deb faraz qilamiz va
𝑑𝑃(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃(𝑡)(𝐿 − 𝑃(𝑡)) 
tenglamaga ega bo’lamiz.
Quyida 2-sodda biologik modelni ko’rib chiqamiz: 
𝑑𝑃(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃(𝑡)(𝐿 − 𝑃(𝑡)) 
modelda 
𝑘 > 0 bo’lsin deb faraz qilsak quyidagilarga ega bo’lamiz.
1) Agar 
𝑃(𝑡) > 𝐿 bo’lsa, u holda 
𝑑𝑃(𝑡)
𝑑𝑡
< 0;
"Science and Education" Scientific Journal / Impact Factor 3.567 (SJIF) November 2022 / Volume 3 Issue 11
www.openscience.uz / ISSN 2181-0842
64

---

2) Agar 
𝑃(𝑡) = 𝐿 bo’lsa, u holda 
𝑑𝑃(𝑡)
𝑑𝑡
= 0; 
3) Agar 
𝑃(𝑡) < 𝐿 bo’lsa, u holda 
𝑑𝑃(𝑡)
𝑑𝑡
> 0; 
Tenglamaning yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: 
𝑃(𝑡) =
𝐿𝑃
0
𝑒
𝐿𝑘𝑡
𝐿 − 𝑃
0
+ 𝑃
0
𝑒
𝐿𝑘𝑡
. 
Mazkur modelning diskret holini qaraymiz. Model juda murakkab bo’lgani 
uchun 
𝐿 = 1 bo’lgan holni qaraymiz va 
𝑃
𝑛+1
= 𝑘𝑃
𝑛
(1 − 𝑃
𝑛
) 
modelga ega bo’lamiz. 𝑥 = 𝑃
0
va 
𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥(1 − 𝑥) belgilashlarni olsak 
𝑃
0
= 𝑥, 𝑃
1
= 𝑓(𝑥), 𝑃
2
= 𝑓
2
(𝑥), 𝑃
3
= 𝑓
3
(𝑥), . .. 
ketma-ketlikka ega bo’lamiz. Bu esa 4 va 5-misollarda ko’rilganidek 
𝑘 
parametrli kvadratik funksiyaning iteratsiyasi bo’ladi. Bu funksiya logistik funksiya 
deb ham ataladi. Uning dinamikasi turlicha, yaqinlashuvchi, davriy va xaotik kabi 
xossalarni namoyon qiladi.
Individlar populyatsiyasini mavsumiy ko’payishi, tur sonlarining antropogen 
omillar ta’sirida kamayishi, ularni ovlash muddatlarini matematik modellari ishlab 
chiqilgan [4-15]. 
Odatda matematik modellar oddiy differensial tenglamalar sistemalaridan iborat 
bo‘lib, ularning yechimlari yordamida u yoki bu jarayonning o‘zgarishini oldindan 
aytib berish mumkin. Ilmiy tadqiqotlarda [16-37] biologik jarayonlarning matematik 
modellari o‘rganilgan, analitik va sonli yechimlar topilgan. Ushbu modellar 
yordamida o‘simlik turlarini ko‘payishi va ularga ekologiyaning ta'sirini o‘rganish 
mumkin. Ularda biologik jarayonlarni ifodalovchi turli matematik modellar tahlil 
qilingan va biologiya bilan bog‘liqligi ko‘rsatib o‘tilgan.