Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

» с; >Ь;
А ABC.
1. А ABD

2. 
   А АСЕ
   

2. 
   А; Ъ; с-
   
3. 
   2) A;h_a ;h_b
   

4) А; В; r

1. 
   A OBD —> BD;
   
2. 
   A AOD —> AD;
   
3. 
   
   D
   
   
   В
   
   A;AB;B^AABC.
   

5) Л; к_а; т_а

1. 
   ЬАЕЕ^ВС\
   
2. 
   <Л\\АЕ\
   

с11 ВС и проходит через точку Е\

3. 
   АОхс1= т. О;
   

4. 
   Из т. О проводим окружность радиуса Я;
   
5. 
   т. В и т. С — точки пересечения с хордой ЕР.
   

6) /г_а; к_ь. Построим А А ВС, Ь=с.
1. МИ= ^ СЕ =^И_с=~к_ь (по теореме Фалеса);

1
А;

2. 
   ААМБ
   
3. 
   К; ~А^АС;АВ;
   
4. 
   
   В
   АС; А; С А АВС
   

	/ Ьа
Е /		\ Б
			\м
	г

Б

4. Вывод. Предложенный метод позволяет решать большую группу задач построение.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3.
Сборник устных задач по стереометрии для учащихся 10 классов.
Аксиомы стереометрии.

1. 
   Можно ли утверждать, что
   

а) любые две точки лежат на одной прямой;
б) любые три точки лежат на одной прямой?

2. 
   Можно ли утверждать, что
   

а) любые три точки лежат в одной плоскости;
б) любые четыре точки лежат в одной плоскости;
в) через прямую и две точки, лежащие вне этой прямой, можно провести плоскость?

3. 
   Точки A,B,C,D не лежат в одной плоскости. Докажите, что любые три из них не лежат на одной прямой.
   
4. 
   Могут ли две различные плоскости иметь одну общую точку?
   
5. 
   Как могут быть расположены две плоскости, имеющие одну общую точку?
   
6. 
   Через концы рёбер куба, исходящих из одной вершины, проведена плоскость.
   
7. 
   Построить линии пересечения этой плоскости с гранями куба.
   
8. 
   В кубе провести сечения через середины трёх рёбер, выходящих из одной вершины.
   
9. 
   Найти площадь сечения, если ребро куба равно а.
   
10. 
    Можно ли утверждать, что любая точка каждой из сторон A ABC лежит в плоскости ABC.
    
11. 
    Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости а. Можно ли утверждать, что две другие вершины параллелограмма лежат в плоскости а?
    
12. 
    Для проверки точности обработки плоской поверхности обычно на практике прикладывают в разных направлениях линейку, чтобы не было зазоров. На каком математическом предложении обосновано это правило?
    
13. 
    Конкурс на лучший рисунок: начертить три взаимно пересекающихся плоскости.
    

Параллельность прямых и плоскостей.

1. 
   Можно ли утверждать, что прямые, не имеющие общих точек, параллельны?
   
2. 
   Прямые а и с параллельны, а прямые а и b пересекаются. Могут ли прямые b и с быть параллельными?
   
3. 
   Могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с?
   
4. 
   а) Докажите, что рёбра куба, взятые по четыре, параллельны (например: АВ; ДС; AiBi; Д1С1).
   

б) Диагонали любых противоположных граней, типа АД] к ВС_Ь параллельны.
BI Ci

//^1
\ 1 1 1 L^B	)
/	/
/	/
	/

5. 
   Найти в классном кабинете пары прямых, через которые можно провести плоскость.
   
6. 
   Дано изображение пространственного четырёхугольника
   

D

в

а) Какое взаимное расположение прямых: АВ и СД; ВС и ДА?
с б) Как расположены диагонали АС и ВД?

А

7. 
   Через вершину А параллелограмма АВСД проведена плоскость а, не совпадающая с плоскостью ABC.
   

а) Можно ли утверждать, что ВС || а?
б) Какое взаимное расположение ВС и плоскости а, если эта плоскость проходит через сторону АВ?

8. 
   Через середины двух сторон треугольника проведена плоскость, не совпадающая с плоскостью треугольника Какое взаимное расположение этой плоскости с третьей стороной треугольника?
   
9. 
   Прямая а параллельна плоскости (3. Существует ли на плоскости (3 прямая, не параллельная а?
   
10. 
    Две прямые параллельны одной и той же плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны?
    
11. 
    Прямая а пересекает плоскость а. Лежит ли в плоскости а хотя бы одна прямая, параллельная а?
    
12. 
    Точка М не лежит в прямоугольнике АВСД. Докажите, что прямая СД || пл. АВМ.
    
13. 
    АВСД - трапеция. ВС || а, Де а . Доказать, что АДе а. Средняя линия трапеции || а.
    

в



с

14. Прямая а| | а. Верно ли, что эта прямая:
а) не пересекает ни одну прямую в пл. а;
б) параллельна любой прямой, не лежащей в а;
в) параллельна некоторой прямой, лежащей в а?
15. прямые a и b параллельны прямые а и b пересекаются

прямые а и b скрещиваются.
Как расположена прямая b относительно плоскости а, если прямая а
а) а е а
б) ana
в) а || а.

16. 
    Две плоскости параллельны. Как расположена каждая прямая одной плоскости относительно другой плоскости?
    
17. 
    Доказать, что противоположные грани куба параллельны.
    
18. 
    Через каждую из параллельных прямых проведено по плоскости. Можно ли утверждать, что эти плоскости параллельны?
    
19. 
    Могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и той же прямой?
    
20. 
    Могут ли быть параллельны плоскости, проходящие через не параллельные прямые?
    
21. 
    В кубе АВСДА1В1С1Д1 провести сечение через середины рёбер ААь AjB); АД. Установить вид сечения и найти его площадь, если ребро куба равно а.
    

Изображение пространственных фигур.

1. 
   Может ли параллельная проекция отрезка быть больше, равна, меньше проектируемого отрезка?
   
2. 
   Какие геометрические образы являются параллельными проекциями:
   

а) прямой;
б) двух скрещивающихся прямых; (две ||, две n, | и (•))
в) треугольника;
г) трапеции;
д) параллелограмма?

3. 
   Дана плоскость а и прямая а вне этой плоскости. А! и В] - проекции точек А и В в плоскости. Построить проекцию точки С в плоскости а.
   
4. 
   Даны плоскость а, точки А и В вне её, проекции А и В на плоскость а. Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью а.
   
5. 
   Точки А,В и С являются проекциями вершин параллелограмма ABC Д. Точки А,В и С не лежат на одной прямой. Построить проекцию четвёртой вершины на эту плоскость.
   
6. 
   Даны проекции вершин треугольника. Построить проекции медиан на эту плоскость и проекцию бессиктрисы одного из углов треугольника, если стороны, заключающие этот угол, относятся как 2:3.
   
7. 
   Дан параллелограмм являющийся проекцией ромба. Построить прямую, проведённую через точку пересечения диагоналей и перпендикулярная стороне ромба (только не середина боковой стороны), если известно, что острый угол ромба равен 60°.
   
8. 
   АВСД - ромб, ОМ || АД. Может ли ОМ ± СД?
   
9. 
   АВСД - квадрат. Из точки М провести перпендикуляры к сторонам и диагоналям квадрата.
   
10. 
    A ABC — равносторонний. Из точек М и N провести перпендикуляры к стороне ВС.
    
11. 
    Точки А, В и С являются проекциями трех последовательных вершин правильного шестиугольника. Построить проекцию центра и всех остальных его вершин.
    
12. 
    Построить проекцию равнобокой трапеции и её высот, проведённых из тупых углов, (трапеция - произвольная, высота || центру симметрии).
    
13. 
    Дана параллельная проекция окружности. Построить произвольный диаметр перпендикулярный хорде АВ.
    
14. 
    Построить изображение двух взаимно пфпендикулярных диаметров. Дня наглядности диаметр проводится под углом 5°-10° к рабочему диаметру.
    
15. 
    Построить изображение правильного треугольника, шестиугольника, вписанного и описанного около окружности.
    

Перпендикулярность прямых и плоскостей

1. 
   Как нужно установить ёлку на крестовине, чтобы она была перпендикулярна плоскости пола?
   
2. 
   Доказать, что боковые стороны куба перпендикулярны двум плоскостям основания.
   
3. 
   АВСДА1В1С1Д1. Указать взаимное расположение ребра Д1С1 и боковой грани ВС_Ь Доказать, чтоДС-LB^bABlCCi.
   
4. 
   Как расположена относительно плоскости треугольника прямая, перпендикулярная двум его сторонам. Как расположена относительно плоскости круга прямая, перпендикулярная двум его хордам (если хорды п, то 1 ).
   
5. 
   A ABC - правильный, АСе а . Может ли быть ВС 1 а?
   
6. 
   АВСД - ромб. АД € а. Может ли быть АВ 1 а, СД1 а?
   
7. 
   Установить вид треугольника, если через одну из его сторон можно провести плоскость, перпендикулярную другой.
   
8. 
   MB 1 АВ, MB 1 ВС, Д€ АС. Определить вид треугольника МВД.
   
9. 
   В треугольнике ABC : угол АСВ=90°, АС=6, ВС=8, СМ - медиана, СК1 пл. ABC, СК=12. Найти КМ?
   
10. 
    а) АК1В А, АК1 АС. Будет ли АК1 ВС? б) АК1 АВ, АК1 ВС. Будет ли АК 1 АС?
    
11. 
    АВСД - параллелограмм. ВМ=МД; АМ=МС. Доказать, что МО 1 пл. АБС.
    
12. 
    Точка M лежит вне плоскости треугольника ABC и равноудалена от его вершин. Как расположена проекция точки M на плоскости, если: а) треугольник ABC - остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный.
    
13. 
    АВСД - квадрат, АМ1 пл. ABC. Доказать, что: а) В Д1 AMO; б) МО 1В Д.
    

м

14. 
    АСВД - квадрат, ZMBA=ZMBC=90°, MB=m, АВ=п. Найти расстояние от М до: а)вершин квадрата; б)прямых АС и В Д.
    
15. 
    АВСД - квадрат. KOl пл. ABC. Доказать, что ВК± АС.
    
16. 
    АМ=МВ; ML1 пл. ABC, Доказать, что CL1 АВ.
    

ПРИЛОЖЕНИЕ 4.
Исследовательская работа учащегося 11«М» класса Стародубцева Игоря.
Линейные диофантовы уравнения
Простейшим видом уравнений в целых числах являются уравнения вида
ах + Ьу = с, (1)
где а, Ь, с - заданные целые числа, а ^0, Ь^О, сфО. Для решения уравнения (1) в целых числах потребуются некоторые факты теории чисел. Теорема 1.1. (деление с остатком).
Пусть а, Ь целые числа, отличные от нуля, тогда существует единственная пара целых чисел (я,г) таких, что а =bq + г, причем 0 < г < I Ь I. Доказательство .Пусть для определенности Ь > 0(. Выберем целое число q
такое, что ц < —< ц + I, тогда Ъц < а < bq + Ь, значит а= Ья + г, где 0 < г < Ь.
Ъ
Существование пары (я,г) доказано. Предположим, существует другая пара целых чисел (яьГ]) такая, что а=Ья1 +г_ь причем 0 < Г1 < I Ь I, тогда Ья + г = Ьц1 + г ь откуда
= (2)
О
V — V
Так как 0 < г < Ь, 0 < Г] < Ь, то - Ь< г- Г! < Ь , т.е. -1 < < 1, значит q\ -я =0
Ъ
<-»• Ць следовательно, г= г_ь что противоречит предположению. Теорема доказана.
Наибольший общий делитель чисел а, Ь будем обозначать символом (а,Ь). Для нахождения наибольшего общего делителя чисел а, Ь удобно использовать следующий алгоритм. Алгоритм Евклида.
Выберем наибольшее по модулю из чисел а, Ь. Пусть для определенности |а|>|Ь| (Если |а|=|Ь|, то (а,Ь)=|а|=|Ь|).

1.