Изолированные особые точки и их классификация

ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
Точка а Сz называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце {z:0<|z–a|Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) регулярна в некоторой окрестности {R<|z|< } точки z= и функция 
имеет в точке x =0 изолированную особую точку однозначного характера.
В зависимости от поведения функции f (z) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.
Изолированная особая точка а функции f (z) называется
а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

б) полюсом, если

в) существенно особой точкой, если

не существует.
Заметим, что типы особых точек z= функции f (z) и x =0 функции j(x) совпадают, ибо

Пусть функция f (z) регулярна в точке а (и, следовательно, в некоторой окрестности этой точки). Число т, т 1, называется кратностью (или порядком) нуля функции f (z) в точке а, если выполнены условия
f (a)=f¢ (a)=…=f (m-1)(a)=0,
f (m)(a) 0.
При т=1 точка а называется простым нулем функции f (z), при m>1-кратным.
Порядком (или кратностью) полюса функции g(z) в точке а называется кратность нуля в точке а регулярной функции

Если а – простой нуль f (z), то точка а называется простым полюсом функции g(z).
Замечание.
Вообще, если
, где P(z) и Q(z) – полиномы, не имеющие общих корней, то корни полинома Q(z) (и только они) являются полюсами функции f (z).
Порядок полюса f (z) совпадает с кратностью соответствующих корней полинома Q(z).
Точка z= называется нулем кратности m 1 для функции f (z), регулярной в этой точке, если функция 
имеет нуль кратности т в точке x =0.
Если z=а – изолированная особая точка однозначного характера для функции f (z), то f (z) регулярна в некотором кольце {z: 0<|z-a| .
Тип изолированной особой точки однозначного характера определяется видом лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки.
1. Для того чтобы точка а была устранимой особой точкой функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение этой функции в окрестности точки а не содержало главной части.
2. Для того чтобы точка а была полюсом функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержала лишь конечное число членов (причем полюсом порядка т³ 1, если главная часть имеет вид
, где ст 0.
3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой, когда главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.
Разложение функции f (z) в окрестности бесконечно удаленной точки в ряд Лорана имеет вид 
Здесь роль главной части играют члены с положительными степенями z, а члены с отрицательными степенями образуют правильную часть.
Опираясь на приведенные критерии типа особой точки и определение вычета в точке z= , рекомендуем читателю сформулировать соответствующие утверждения для точки z= .
Напомним определение. Точка  называется особой точкой аналитической функции  , если в ней аналитичность ее нарушается.
Определение 2. Точка  называется изолированной особой точкой функции  , если существует окрестность  этой точки с исключенной точкой  , в которой  аналитична, кроме самой точки  .
Существует три типа изолированных особых точек. Приведем их определения.
Определение 3. Точка  называется устранимой особой точкой  , если разложение ее в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит главной части.
Определение 4. Точка  называется полюсом кратности N функции, если в разложении ее в ряд Лорана в окрестности точки  главная часть содержит конечное число членов, причем младшим отличным от нуля коэффициентом является  .
Определение 5. Точка  называется существенно особой точкой функции  , если главная часть ее разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.
Приведем критерии типа изолированных особых точек.
1) для того, чтобы точка  была устранимой особой точкой функции  , необходимо и достаточно, чтобы  .
2) для того, чтобы точка  была полюсом кратности N функции , необходимо и достаточно, чтобы  ,  .
3) для того, чтобы точка  была существенно особой точкой функции  , необходимо и достаточно, чтобы  .
Полезна следующая теорема. Для того, чтобы точка  была полюсом порядка N функции , нужно, чтобы она была нулем N - го порядка функции  (связь между нулями и полюсами).
Пример 1. Для функции  особой точкой является  . Имеем  -  есть устранимая особая точка.
Пример 2. Для функции  является особой точкой. Так как  - это полюс. Так как для функции  т.  является нулем пятого порядка, то  - полюс пятого порядка функции  .
Пример 3. Для функции  является особой точкой. Разложение  в ряд Лорана:  в главной части содержит бесконечное число членов: это существенно особая точка.
Пример 4. Найти все особые точки функции  и определить их характер.
Решение. Особыми точками являются точка  и точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Имеем  , откуда  , причем эти точки являются нулями первого порядка. Следовательно, в точках  ,  функция  имеет простые полюса. Точка  не является изолированной особой точкой, так как она является пределом полюсов:  : это означает, что любая окрестность точки  содержит бесконечное число особых точек  .
Задачи для самостоятельного решения
У нижеследующих функций найти нули и определить их порядки:
132.  . 133.  . 134.  . 135.  . 136.  .
137.  .
Найти порядок нуля  для следующих функций:
138.  . 139.  . 140.  .
141.  .
Определить характер особой точки  для следующих функций:
142.  . 143.  . 144.  .
Найти особые точки и определить их характер у следующих функций:
145.  . 146.  . 147.  . 148.  . 149.  .
150.  . 151.  . 152.  . 153.  .
Решение.
Поскольку числитель и знаменатель дроби - аналитические функции, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. корни уравнений  и  - шесть точек  .
Очевидно, что все эти точки изолированные и являются полюсами, т.к. для каждой из них справедливо  .

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Найти все конечные особые точки функции  и определить их тип.
Решение.
Поскольку числитель аналитическая функция, то особыми точками f(z) являются точка z0 =0 и нули знаменателя - точки zk , для которых
,
т.е. .
Точки 
очевидно, изолированные особые точки. Это полюсы, т.к. для каждой из них справедливо

Точка z0 =0 не является изолированной особой точкое, т.к. в любой ее окрестности, кроме нее самой содержится бесконечное множество особых точек - точек

Такая особая точка называется предельной особой точкой полюсов zk , ибо  .

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3. Определить тип особой точки z = 0 для функции  .
Решение.
Точка z = 0 изолированная особая точка.
Поскольку  и  , т.е. не существует предел  в действительной области (z = x), то он не существует и в комплексной области, а это значит, что точка z = 0 - существенно особая точка функции  .

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 4. Найти особые точки функции  и определить их тип.
Решение.
Поскольку числитель и знаменатель дроби - аналитические функции, то особыми точками являются нули знаменателя - точки z = 3 и z = -1.
Обе эти точки - простые нули знаменателя, т.е. они являются простыми полюсами функции f(z).

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 5. Найти особые точки функции  и определить их тип.
Решение.
Единственная особая точка функции - изолированная точка z = i.
Запишем (используя стандартное разложениедля экспоненты) разложение функции в ряд Лорана по степеням z - i:

Главная часть полученного разложения содержит бесконечное число членов, следовательно что точка z = i - существенно особая.