Изолированные особые точки и их классификация

Градиент скалярного поля

Пусть в области  пространства функция задаёт скалярное поле. Функция непрерывна и дифференцируема.Определение.Градиентом скалярного поля  в точке называется вектор, обозначаемый символом и определяемый равенством
, (1.3)
Сопоставив последнее выражение с формулой (1.2), получим

где
орт направления 
Очевидно, что производная функции  по направлению вектора есть проекция вектора на ось, направленную по
Градиент обладает следующими свойствами:
 градиент направлен по нормали к поверхности уровня (или к линии уровня);
 градиент направлен в сторону возрастания функции U;
 модуль градиента равен наибольшему значению производной по направлению в данной точке поля;

Эти свойства позволяют сделать вывод, что  есть вектор, по величине и направлению характеризующий наибольшую крутизну изменения функции .
Пример 1.5.Найти градиент скалярного поля .
Решение.

нормальный вектор для семейства параллельных плоскостей
,
которые являются поверхностями уровня данного скалярного поля.
Пример 1.6
Найти наибольшую крутизну подъёма поверхности  в точке .
Решение.


Пример 1.7.
Найти направление наибольшего изменения скалярного поля

и величину этого изменения в точке 
Решение.
Направление наибольшей крутизны изменения поля задаёт вектор  .
.

Решить самостоятельно:

11. 
    найти градиент скалярного поля
    

в точке  ;

11. 
    найти угол  между градиентами функции
    

в точках  и ;

11. 
    найти угол  между градиентами функций
    

и  в точке ;
14) найти градиент  , если
постоянный вектор.
Ответы.

1. 
   семейство сферических поверхностей;
   
2. 
   семейство параболоидов;
   
3. 
   пучок плоскостей;
   
4. 
   семейство параллельных прямых;
   
5. 
   пучок прямых;
   
6. 
   семейство парабол;
   
7. 
   8)  9) 10) -2 ; 11) ;
   

12)  13) 14)