Функции комплексной переменной. Кривые и области

4-ТЕМА: 

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ 

НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 

КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 

Пример-1:  Найти  действительную  и  мнимую  части  функции 

 

2

f z

iz

z





. 

► Полагая 

z

x

iy

 

, находим  

   

  























2

2

2

2

2

,

,

2

1 2

.

f z

u x y

i

x y

i x

iy

x

iy

i x

y

ixy

x iy

x

y

i x

y

y



























 









 

Таким образом 

   





Re

,

1 2

f z

u x y

x

y



 



, 

 

 

2

2

Im

,

f z

x y

x

y

y











.◄ 

 

Пример-2: 

Определить 

функцию 

 

f z





 

по 

известным 

действительной и мнимой частям: 

 

 

,

,

,

u x y

x

y

x y

x

y



 

 

. 

► Если 

z

x

iy

 

 и 

z

x iy

 

, то 





1

2

x

z

z





 и 





1

2

y

z

z

 



. 

Тогда 

 









1

1

1

,

2

2

2

2

i

i

i

u x y

x

y

z

z

z

z

z

z





  











; 

 









1

1

1

,

2

2

2

2

i

i

i

x y

x

y

z

z

z

z

z

z







  











. 

Следовательно, 

   

 





1

1

1

1

,

,

2

2

2

2

1

1

1

1

1

.

2

2

2

2

i

i

i

i

f z

u x y

i

x y

z

z

iz

i z

i

i

i

i

i z

i z

i z

















































 

















 

Таким образом, 

  



1

f z

i z

 

. 

Рассмотренный  в  задаче  метод  позволяет  в  общем  случае  получить  для 

функции комплексной переменной выражение, зависящее от 

z

 и 

z

.  ◄ 

Пример-3: Найти все значения функции 

2

2

z







 в точке 

0

z

i



. 

► Так как 

1

i



 и 

arg

2

i





 то в соответствии с определенном корня 

n



 й 

степени из комплексного числа находим 

2

2 2

2

,

0,1.

2

i

k

k

e

k



























 

Таким образом, 

4

0

2

2

2

cos

sin

2

2

4

4

2

i

e

i

i



















 

. 

5

4

1

2

2

5

5

2

cos

sin

2

2

2

4

4

2

i

e

i

i























.◄ 

Самостоятельная работа 

1.  Найти действительную и мнимую части функции 

 

f z

. 

а) 

 

2

f z

iz

z





.   

 

 

 

б)

 

 

2

2

f z

iz

z





. 

2.  Определить  функцию 

 

f z





  по  известным  действительной  и 

мнимой частям: 

   

,

,

,

u x y

x y



. 

a) 

 

 

,

3

,

,

2

u x y

x

y

x y

x

y







 

 

b) 

 

 

,

2,

,

1

u x y

x

y

x y

x

y



  

  

 

3.  Найти все значения функции 

 

z



 в точке 

0

z

. 

a)    

0

1,

z

z

z

i





 



;   

b)  

0

1

,

1

1

z

z

z











.