До совсем недавнего времени в вузовских программах не было выделенного курса дискретная математика

§ 2.1. Развитие содержания курса «Дискретная математика» в технических ВУЗах.
До совсем недавнего времени в вузовских программах не было выделенного курса дискретная математика. Даже если посмотреть на список литературы, то окажется, что первые учебники под таким названием появились лишь в начале 80-х годов. Конечно, ранее уже имелся знаменитый учебник С.А.Яблонского «Введение в дискретную математику». Но даже в МГУ им.Ломоносова кафедра «Дискретной математики» возникла только в 1981 г. Многие области высшей математики, которые сейчас принято рассматривать в рамках ДМ , рассматривались как части математического анализа (теория множеств), высшей алгебры (теория чисел, теория отношений, теория матриц, комбинаторика, диофантовы уравнения), исследовании операций и т.д. Математическая логика и теория графов рассматривались совершенно отдельно от вышеперечисленных областей.
Таким образом, не только не использовались видимые преимущества взаимосвязанного преподавания этих дисциплин, но и оставалась вне поля зрения их глубокая теоретическая взаимосвязь.
Эта взаимосвязь и взаимопроникновение дисциплин проявляется в мощных аналогиях наблюдаемых, например, между теорией множеств и математической логикой, теорией чисел и теорией матриц, служит удобным средством для раскрытия основ дискретной математики, как единой области.
Вследствие недооценки указанной взаимосвязи дисциплин при их изучении происходит не только потеря единства изложения учебного материала, но и утрачивается общность цели изучения дисциплин, составляющих дискретную математику. Эта цель состоит не столько в предоставлении студентам декларативных и процедурных знаний в рамках каждого отдельного курса, сколько в том, чтобы синтетический курс дискретной математики позволял сформировать все составляющие компетентности ИК (логическую, индуктивную, алгоритмическую, языковую), и, следовательно, интеллектуальную компетентность в целом.
Проблема структурирования и отбора содержания учебного материала и самих дисциплин, включаемых в курс ДМ, давно и широко обсуждается. Вопрос состоит в том, чтобы определить какой должна быть структура знаний, которая способствовала бы наиболее рациональному усвоению учебного материала и способствовала бы улучшению качества предметных знаний?
В настоящее время существует весьма много моделей логической структуры учебного материала. Эти модели, несмотря на их разнородность в плане обоснования подходов и методов, прошли апробацию в реальном педагогическом процессе и дали свои положительные результаты. Проведем анализ работ, посвященных структуре учебного материала и отбору его содержания, и рассмотрим, в каких аспектах этот вопрос получил отражение в дидактической литературе.
Вопросу выяснения влияния логических связей (отношений) в учебном материале на дидактические свойства различных вариантов объяснения этого материала посвящена работа A.M. Сохора «Логическая структура учебного материала. Вопросы дидактического анализа». Саму логическую структуру учебного материала A.M. Сохор понимает как «систему, последовательность, взаимосвязь составляющих единое целое учебного материала». Его вывод состоит в следующем: от того, что понимается под элементом учебного материала, и от того, как устанавливаются связи между выделенными элементами, зависят и варианты представления логической структуры учебного материала.
Один из патриархов российской прикладной математики академик А.Н.Крылов так формулировал задачи инженерного образования: «Школа не может дать вполне законченного знания; главная задача школы - дать общее развитие, дать необходимые навыки, одним словом ... научить учиться, и для тех, кто научиться учиться, практическая деятельность всю жизнь будет наилучшей школой» [120].
Из приведенных слов вовсе не следует, что курс должен быть поверхностным, но следует то, что он должен быть достаточно широким, и главное связанным общей идеей изложения, позволяющей приобрести то самое «общее развитие», которое и позволит в дальнейшем самостоятельно осваивать новые области не только дискретной математики, но и других наук. Как показано выше, именно это общее развитие мы и называем интеллектуальной компетентностью, и именно оно обеспечивает теоретический уровень мышления.
Наконец, следует отметить , что углубленное изучение всех дисциплин, включаемых в курс ДМ, потребовало бы значительно больше времени, чем отводимые на неё 60-70 часов лекций и столько же времени для практических занятий. В этой ситуации общий подход к преподаванию дисциплин дискретной математики как взаимосвязанных компонентов единого целого курса позволяет охватить больше теоретического материала, за счет общего формата построения подпрограмм каждой из дисциплин.
Именно поэтому одним из важнейших требований к материалу преподаваемой дисциплины оказывается освоение её как языка. Причем не только как терминологии, но именно как составляющих частей теории, то есть словаря, синтаксиса и семантики. Подобный подход ярко продемонстрирован в книге французских логиков [114], имеющей важный подзаголовок «От классической логики к логическому программированию». Аналогично, можно сформулировать общий принцип построения отдельных разделов курса ДМ в следующем виде: «от теоретических основ к алгоритмам решения классов прикладных задач».
Курс «Дискретной математики» для студентов инженерных специальностей должен с одной стороны охватить определенные дисциплины этой области современной математики, а с другой стороны, должен учитывать то, что рассматриваемые в нем дисциплины служат основой для изучения и использования результатов, полученных в этих дисциплинах, для решения конкретных научно-технических задач.
При этом создается возможность использования более глубоких результатов, полученных в составляющих курс дисциплинах, но не включаемых в него из-за сложности и специфичности.
Как справедливо отмечено Ж.-Л. Лорьером , при преподавании математики «очень мало внимания уделяется методам «активного» обучения, индуктивным рассуждениям, эвристике в педагогике (здесь речь идет о том, чтобы заставить студента самого открыть то, чему его хотят научить), дидактике математических дисциплин (здесь речь идет об изучении самого преподавания как явления в его познавательных аспектах и с точки зрения техники преподавания)» [78]. Таким образом ставится проблема соответствия педагогической технологии и задач преподавания дискретной математики, сформулированных во «Введении».
В той же книге Ж.-Л. Лорьер указывает один из важных недостатков существующего подхода к преподаванию математики: « Имеется очень мало случаев, когда математики объясняли бы, как именно они пришли к какому-то важному результату. Можно даже сказать, что традиционное редактирование математических текстов все сделало для того, чтобы скрыть самые первые индуктивные шаги к будущему результату. Рассуждение по большей части представляет собой обратное тому, что подразумевалось. Доказательство представляется очищенным аргументами от эвристики. Первоначальные представления изменены и закодированы путем использования математических обозначений, и наконец, введенные объекты получают окончательный вид. Педагоги сегодня великолепно осознают эти проблемы, но решить их непросто»[78].
Описанные проблемы вряд ли можно считать преодоленными в современных курсах дискретной математики, предлагаемых различными авторами. Упоминаемые курсы хоть и формировались для различных целей, то есть для подготовки будущих специалистов различных сфер деятельности, от школьных преподавателей математики до исследователей в области прикладной математики и информационных технологий , и могут существенно отличаться друг от друга по соотношению включаемых компонентов и по глубине их рассмотрения, но имеют общие недостатки, перечисленные выше.
Из сказанного следует, что независимо от конкретной специализации студентов, курс дискретной математики должен удовлетворять основным положениям, которые обеспечивают, с одной стороны, достаточный уровень освоения теоретических основ математических дисциплин, а с другой, позволяют воспользоваться достижениями современной дискретной математики в виде разработанных методов и алгоритмов. Причем воспользоваться этими достижениями не обязательно в прямом виде, то есть при решении некоторых математически сформулированных задач, но именно в виде сформированной интеллектуальной компетентности, которая будет соответствовать требованиям в конкретной профессиональной области.
Хотя приведенные выше выводы педагогов и математиков и не содержали в явном виде слов о языковой, логической, алгоритмической и индуктивной компетентностях, развитию которых должно служить изучение студентами всех дисциплин дискретной математики, но именно об этих компетентностях, как составных частях умения мыслить и ведется речь.
Основные требования к курсу дискретной математики, обеспечивающему формирование интеллектуальной компетентности можно свести к следующим:

1. 
   Охват областей математики предусмотренных образовательным стандартом.
   
2. 
   Систематическое изложение основ преподаваемых дисциплин, без излишней детализации.
   
3. 
   Представление теоретического материала , как языка описания моделей, позволяющих описывать и решать целые классы прикладных задач в различных профессиональных областях.
   
4. 
   «Деенаправленное» изложение материала, проявляющееся в доведении теоретических знаний до формирования алгоритмов и их реализации.
   
5. 
   Использование аналогии и обобщения в изложении различных теоретических дисциплин, как приемов, показывающих глубокую взаимосвязь представляемых областей знания.
   
6. 
   Параллельное изложение разделов преподаваемых дисциплин, демонстрирующих аналогию рассматриваемых математических теорий.
   
7. 
   Использование методов и технологий проблемно-ориентированного обучения, для активизации процесса усвоения материала курса, и развития навыков применения изученных алгоритмов при решении прикладных задач.
   
8. 
   Формирование целостной интеллектуальной компетентности на основе составляющих компетентностей, развиваемых на математических моделях в курсе ДМ.
   

Таким образом, можно сказать, что в современных условиях следует учить не только самой дискретной математике, но и тому, «чему учит дискретная математика», имея ввиду перечисленные выше компетентности в их взаимосвязи и взаимодействии.
Прежде чем приступить к рассмотрению методов решения указанных проблем, рассмотрим реализованные на сегодня подходы к формированию и преподаванию дискретной математики в различных университетах РФ. В Приложении 1 приведены результаты сопоставления характеристик курса ДМ в 11 ВУЗах РФ.
Сравнительный анализ краткого описания содержания курсов и рабочих программ показывает, что ввиду следования образовательному стандарту курсы достаточно похожи друг на друга, чтобы носить общее название «Дискретная математика». Но достаточна ли такая общность, для достижения той цели, что ставится перед дискретной математикой, как «базовой дисциплиной программы, которой отводится приоритетная роль не только среди
математических дисциплин, но и как базовой научной дисциплине учебной программы в целом» [112]?
Общепринятым считается построение курса ДМ из следующих теоретических дисциплин:

• 
  теория множеств (понятие множества, мощность множества, трансфинитные числа, операции над множествами, нечеткие множества);
  
• 
  теория отношений (бинарные отношения, матрица отношения, графическое представление отношений, свойства отношений (симметричность, рефлексивность, транзитивность), эквивалентность, упорядоченность, толерантность; нечеткие отношения);
  
• 
  математическая логика (исчисление высказываний, исчисление предикатов, многозначная и нечеткая логика, теоретическая основа для всех последующих дисциплин);
  
• 
  комбинаторика (как подготовка к теории вероятностей, исследованию операций);
  
• 
  теория чисел (теория делимости, теория простых чисел как подготовка к теории кодирования);
  
• 
  теория диофантовых уравнений (как подготовка к целочисленному программированию, линейному программированию);
  
• 
  теория графов (как подход к исследованию операций, теории принятия решений, линейному программированию);
  
• 
  основы теории алгоритмов (основные понятия и формализация понятия алгоритма, подготовка к теории алгоритмов, теории структур данных, анализу и конструированию алгоритмов);
  
• 
  основы теории кодирования (системы счисления; теория двоичных кодов; самокорректирующиеся коды; коды Хемминга, исправляющие ошибки; линейные коды и их простейшие свойства);
  

и некоторые другие.
Сравнение рабочих программ курсов показывает, что в каждом ВУЗе часть курса, заметно превосходящая остальные по выделяемому времени,
отводится лишь одной из составляющих дисциплин. Например, в Таганрогском РТУ и Воронежском ГТУ, Орловском ГПУ явный перевес по времени на стороне теории графов, в ВУиТ - матлогики , Петрозаводском ГУ комбинаторных и численных методах. Причину такой неравномерности можно видеть либо в целевой установке на подготовку специалистов к работе в конкретной области информационных технологий (например, САПР для ТРТУ, или прикладное программирование для ВУиТ), либо в специализации преподавательского состава и кафедры, ведущей курс, в соответствующей области дискретной математики.
Когда такая неравномерность возникает за счет урезания или даже исключения других составляющих курса, это приводит к сужению кругозора будущих специалистов и ограниченности класса задач, доступных им для решения (Приложение 1).
Если же оценивать подобные перекосы с позиции компетентностного подхода, то оказывается, что страдает не только кругозор будущего специалиста, но и, как следствие, одна или несколько составляющих компетентностей, что приводит к снижению уровня интеллектуальной компетентности в целом.
§ 2.2. Педагогические технологии, применяемые в процессе изучения дискретной математики и обеспечивающие формирование составляющих компетентностей и интеллектуальной компетентности в целом .
В современной общей педагогике сложился следующий взгляд на педагогические технологии: «В процессе обучения можно выделить как минимум содержательную (чему учить), процессуальную (как обучать), мотивационную (как активизировать деятельность учащихся) и организационную (как структурировать деятельность преподавателя и учащихся) стороны. Каждой из этих сторон соответствует ряд концепций. Так, первой стороне соответствуют концепции содержательного обобщения, интеграции учебных предметов, укрупнения дидактических единиц .
Процессуальной стороне - концепции проблемного, интерактивного обучения и др. Мотивационной - концепции мотивационного обеспечения учебного процесса, формирования познавательных интересов и пр. Все эти концепции в свою очередь обеспечиваются технологиями. Например, концепции проблемного обучения соответствуют такие его технологии: проблемно- диалоговое обучение; проблемно-задачное; проблемно-алгоритмическое; проблемно-компьютерное обучение» [41].
В рамках компетентностного подхода представляется эффективным использование расширенной технологии укрупненных дидактических единиц, которая предусматривает , по мере укрупнения преподаваемых модулей, производить и укрупнение целей обучения от конкретного знания (декларативного или процедурного), через методы и умения к составляющим компетентностям, а затем и к интеллектуальной компетентности в целом как культуре мышления и способности принимать решения.
Концепция и технология укрупнения дидактических единиц разработана профессором П.М.Эрдниевым.( Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П.,1986)
«Укрупненная дидактическая единица - это целостная ячейка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью. Укрупненная дидактическая единица (УДЕ) обладает качествами системности и целостности, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти.
Понятие укрупнения единицы усвоения достаточно общо, оно вбирает следующие взаимосвязанные конкретные подходы к обучению:

1. 
   совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций, теорем, и т.п., в частности, взаимно обратных задач;
   
2. 
   обеспечение единства процессов составления и решения задач, уравнений, неравенств и т.п.;
   
3. 
   рассмотрение во взаимопереходах определенных и неопределенных заданий, в частности, деформированных упражнений;
   
4. 
   обращение структуры и рассмотрение двойственной задачи, что создает условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий;
   
5. 
   выявление сложной природы знания (математического, физического и т.п.), достижение системности знаний;
   
6. 
   реализация принципа дополнительности в системе упражнений (понимание достигается на основе сочетания образного и логического в мышлении, между его сознательным и подсознательным компонентами, на основе сочетания операций вычленения и сличения, анализа и синтеза, поочередного обращения к разным полушариям головного мозга)» [132].
   

Концепция УДЕ широко применяется в педагогической практике от начальной до высшей школы практически по всем предметам. Причем при изучении каждой учебной дисциплины выстраивается своя технология на основе представленных выше основных положений.
Например, при изучении теории множеств рассматриваются не только задачи построения множества на диаграмме Венна по заданной формуле, но и обратная задача , состоящая в составлении формулы, задающей множество представленное на диаграмме, а при изучении теории диофантовых уравнений рассматривается не только классический алгоритм Евклида, но и «обратный» алгоритм, позволяющий получать разложение наибольшего общего делителя.
Прямая задача лучше постигается в паре с обратной, так как при этом она усваивается студентами не изолированно, а как элемент системы взаимосвязанных математических операций. Аналогично построен процесс изучения теории графов в отношении операций подразбиения и стягивания графов, математической логики в отношении построения таблиц истинности и логических функций по заданной таблице истинности: от раздельного изучения к укрупненному изложению того же материала в двух темах.
Кроме того, в указанных примерах можно рассматривать в качестве укрупненной дидактической единицы такие синтетические объекты изучения как алгоритмы, формируемые в каждой из учебных дисциплин. Алгоритмы объединяют не только операции, выполняемые на каждом из последовательных шагов, но и связывают множество исходных и конечных состояний, и тем самым формируют целостную структуру задачи.
По определению авторов рассматриваемой дидактической технологии, «основу технологии УДЕ составляет так называемое многокомпонентное задание, образующееся из нескольких логически разнородных, но психологически состыкованных в некоторую целостность частей, например:
а) решение обычной "готовой" задачи;
б) составление обратной задачи и ее решение;
в) составление аналогичной задачи по данной формуле и решение ее;
г) составление задачи по некоторым элементам, общим с исходной задачей;
д) решение или составление задачи, обобщающей исходную задачи.»[41] Разумеется, вначале в укрупненное упражнение могут войти лишь
некоторые из указанных вариаций. Главное же заключается в том, что бы все составные части по возможности были выполнены в указанной последовательности в рамках одной дидактической единицы. Акцент на необходимость пространственного и временного совмещения элементов укрупненного знания имеет психологическую причину: согласно современным научным данным всякая информация, воспринятая человеком, циркулирует в так называемой оперативной памяти в течение 15-20 мин, после чего "уходит" на хранение в долговременную память. Фаза оперативной памяти, наиболее оптимальна для всевозможных перекодировок информации, для преобразования знаний.
Поэтому так важны технологические детали, чтобы прямая и обратная задачи записывались и решались в двух параллельных колонках, чтобы доказательства взаимообратных задач и теорем проводились, по возможности, в одной лекции, чтобы вычленение признаков тут же сопровождалось их сопоставлением, чтобы словесные формулировки обязательно сочеталось с символьной записью и т.д. Укрупнение знаний, порождаемое новой дидактической технологией, должно происходить, прежде всего, на практических занятиях, где происходит переосмысление теоретического материала полученного на лекции, и применение полученных результатов к решению прямых и двойственных задач.
Однако, как показывает практика, укрупнение дидактических единиц может и должно быть продолжено. Применение технологии УДЕ при разработке такого синтетического курса, как ДМ, позволяет последовательно выстроить иерархию укрупненных дидактических единиц, которые позволяют студентам естественно и логично усваивать структуру составляющих дисциплин, и из них, как из крупных блоков, строить комплекс дискретной математики, которая уже служит основой для остальных дисциплин.
Технология УДЕ позволяет студентам за отведенное время овладевать большим объемом основательных и эффективных знаний. Для этого технология УДЕ использует скрытые резервы мышления, существенно повышающие результативность процесса обучения.
Укрупнение дидактических единиц начинается с объединения в один комплекс, соответствующий изучаемому разделу или подразделу теории , и включающий лекцию, практическое занятие и домашнее задание по данной теме. Например, «Лекция: Понятие множества. Операции над множествами» объединяется в УДЕ с практическим занятием «Диаграммы Венна и представление множеств», а также домашним заданием на построение диаграмм по формулам и обратным задачам по составлению формул для заданного диаграммой множества.
Из подобных УДЕ складывается «Составляющая дисциплина 1» , в данном случае это «Основы теории множеств».
Объединяющиеся УДЕ связаны не только последовательностью изложения материала теории множеств, но и сквозными понятиями, такими как множество, мощность множества, алгоритм. Причем эти связующие элементы присутствуют и в других «составляющих дисциплинах», и таким образом, связывают между собой сами УДЕ. Так подмножество становится сочетанием в комбинаторике, а множество вершин компонентой графа в теории графов, мощность множества сочетаний становится биномиальным коэффициентом в комбинаторике и числом в теории чисел, а алгоритм присутствует во всех составляющих дисциплинах от теории множеств до теории кодирования.
Таким образом, следующим уровнем укрупнения, как видим, становятся дисциплины, составляющие курс дискретной математики: теория множеств, комбинаторика, математическая логика, теория чисел, теория диофантовых уравнений, теория графов и др.
Однако, представляется целесообразным при дальнейшем укрупнении построить две УДЕ следующего уровня: комплексные дисциплины «Дискретная математика 1» и «Дискретная математика 2».
Если внутри каждой комплексной дисциплины как УДЕ, характерны сквозные информационные связи («вертикальные»), состоящие в наличии общих понятий и объектов, как указывалось выше, то между самими комплексными дисциплинами «Дискретная математика 1» и «Дискретная математика 2» имеются «горизонтальные» связи, проявляющиеся в аналогии теорий (теория множеств и исчисление высказываний, теория нечетких множеств и нечеткая логика), а также в том, что одна теория служит языком для формулирования другой теории (теория графов и теория алгоритмов).
Из этих особенностей построенных УДЕ следует необходимость их синхронизации, то есть согласования последовательности их преподавания, что также соответствует рассматриваемой педагогической технологии
Построенная иерархия укрупненных дидактических единиц, включающая ЛПД (лекция - практическое занятие - домашнее задание), составляющие дисциплины и комплексные дисциплины образует целостный синтетический курс (Рис.2.1).
Кроме рассмотренных УДЕ, в рамках той же технологии целесообразно рассмотреть и такие, которые играют важную роль в обеспечении целостности курса, и позволяют связать разные компоненты курса как «вертикально», так и « горизонтально». Такими дидактическими единицами являются алгоритмы, которым будет посвящена часть данной главы, и так называемые «нестандартные» задачи, которые рассмотрены в Приложении 2.

Составляющая дисциплина 2