\documentclass[english,12pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8]{inputenc}

\documentclass[english,12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[left=2.00cm, right=2.00cm, top=2.00cm, bottom=2.00cm]{geometry}
\usepackage{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{nameref}
\usepackage{thmtools}
\usepackage{xcolor}
\begin{document}
\textbf{\Large
\begin{center}
\LaTeX \ dasturida matematik formulalarni kiritish usullari va murojatlarni o`rnatish
\end{center}
\begin{center}
Sa'dullayev Husniddin
\end{center}} \\\\
\quad \textbf{Mavzu:} Raqobatning ayrim modellari.\\\\
Yirtqichlar populyatsiyalari o'z o'ljalariga stressni yo'qotishning oldini olish uchun o'zini o'zi tartibga soladimi? Yoki yirtqichlar ierarxiyasini eng og'ir bo'lib qolmasligi uchun boshqa mexanizm bormi?\\
Avto-tartibga solish yirtqichlarning populyatsiyasi hajmida ko'p narsani tushuntirmaydi. Guruh tanlovi bunday avtomatik tartibga solishni tushuntirishi mumkin, ammo menimcha, bu muhokama uchun unchalik muhim emas.\\
Shigeta nima deganini yaxshiroq tushunish uchun siz turli xil yirtqichlar modelini yoki iste'molchi-resurs o'zaro ta'sirini tushunishga qiziqasiz. Masalan, mashhur Lotka-Volterra tenglamalari ikkita mavjud turlarning populyatsion dinamikasini tavsiflaydi, bunda biri o'lja, ikkinchisi yirtqich. Keling, avval ba'zi o'zgaruvchilarni aniqlaymiz.\\
\begin{itemize}
\item \quad $ x $ : O'lja soni\\
\item \quad $y$ : yirtqichlar soni\\
\item \quad $ t $ : vaqt\\
\item \quad $\alpha$, $\beta$, $xi$ va $\gamma$ parametrlar bir turning ikkinchi tur populyatsiyasiga qanday ta'sir qilishini tavsiflaydi.
\end{itemize}
Lotka-Voltera tenglamalari:

\begin{equation*}\label{eq:eqno}
\frac{dx}{dt} = x(\alpha - \beta y) \eqno{(4)}
\end{equation*}

$$\frac{dy}{dt} = -y (\gamma - x_i x) $$
\\
Siz shuni ko'rsatishingiz mumkinki, ba'zi parametrlar uchun bu tenglamalar matritsasi murakkab o'ziga xos qiymatga ega bo'lib, bu tizimning uzoq muddatli xatti -harakatlari davriy (davriy xatti -harakatlar) dir.\\
Agar yirtqichlarning populyatsiyasi soni ($y$) 0 ga etadi (yo'qolib ketish), keyin $ \frac {dx} {dt} = x ( \alpha - \beta y)$ \textit{bo'sh joyga aylanadi} $\frac{dx}{dt} = x\alpha \space$ (qaysi umumiy yechim $x_t = e^{\alpha t}x_0$) va shuning uchun yirtqichlarning populyatsiyalari eksponent sifatida o'sadi. Agar yirtqichlarning populyatsiyasi soni $ x $ = 0 ga etadi (yo'q bo'lib ketish), keyin $ \frac {dy} {dt} = -y ( \gamma - xi x)$ bo'sh joyga aylanadi $ \frac {dy} {dt} = -y \gamma \space$ va shuning uchun yirtqichlarning populyatsiyasi eksponent sifatida kamayadi.

Ushbu modeldan so'ng, sizning savolingiz aslida: Nima uchun parametrlar $\alpha$, $\beta$, $ xi $ va $\gamma$ yirtqichlar o'ljalarning yo'q bo'lib ketishiga (va shuning uchun o'zlarining yo'q bo'lib ketishiga) sabab bo'lmaydimi? Qarama -qarshi savolni teng ravishda berish mumkinmi? Nega yirtqichlar populyatsiyalari ezilib ketishi uchun yirtqichlardan qochish uchun evolyutsiya rivojlanmaydi?

Ko'rsatilganidek, sizga yirtqichlar va yirtqichlarning birgalikda yashashiga ruxsat beradigan murakkab model kerak emas. Siz o'z modelingizni boshqa postda aniqroq tasvirlab berishingiz va nima uchun sizning modelingizda o'lja har doim yo'q bo'lib ketishini so'rashingiz mumkin. Ammo sizning modelingizni yanada aniqroq qilish uchun juda ko'p imkoniyatlar mavjud, masalan, fazoviy heterojenliklarni qo'shish. Shuningdek, boshqa trofik darajalarni, stokastik ta'sirlarni, vaqt bo'yicha o'zgaruvchan seleksiya bosimini (va muvozanatlashning boshqa turlarini), yirtqichlar tufayli yoshi, jinsi yoki sog'lig'iga xos o'lim darajasini (masalan, yirtqichlar asosan yoshlar yoki kasallarni nishonga olishi mumkin), bir nechta raqobatdosh turlar va boshqalar.\\
1) nasl tanlash: juda ko'p ovqatlanadigan yirtqichlar yo'q bo'lib ketishadi, chunki ular o'ljalari yo'q bo'lib ketishiga sabab bo'lgan. Bu gipoteza turlarning farovonligi uchun qandaydir avtomatik tartibga solish bilan hech qanday aloqasi yo'q. Albatta, sizning modelingiz uchun bir necha turdagi yirtqichlar va yirtqichlar kerak bo'ladi. Bunday gipoteza odatda tushuntirish kuchiga ega bo'lishi ehtimoldan yiroq emas.
\\
2) Hayot-kechki ovqat tamoyili. Bo'ri kechki ovqat uchun yugursa, quyon o'z hayoti uchun yuguradi. Shunday qilib, quyonlarga bo'rilarga qaraganda o'rtacha tezroq yugurishga imkon beradigan quyonlarga nisbatan yuqori bosim bosiladi. Bu evolyutsion jarayon quyonlarni yo'q bo'lib ketishidan himoya qiladi.
\\
3) Siz o'ylab ko'rishingiz mumkin...\\
$\bullet$ yirtqichlar yoki yirtqichlarning bir nechta turlari
\\$\bullet$ ekologik heterojenlik
\\$\bullet$ yirtqichlar va yirtqichlar o'rtasida tarqatish diapazonining qisman bir -biriga o'xshashligi
\\$\bullet$ Agar bitta tur mavjud bo'lmasa, model xuddi eksponensial model kabi harakat qiladi. Siz har bir tur uchun logistika o'sishining modelini kiritishni xohlashingiz mumkin $ K_x $ va $ K_y $ har bir tur uchun yuk tashish qobiliyati.
\\$\bullet$ Yirtqichni (yoki parazitni) qiziqtirgan yirtqich turlariga qo'shish
\\
... va siz juda boshqacha natijalarga erishishingiz mumkin.\\
Sutemizuvchilar va qushlar orasida yirtqichlarning namunalari yaxshi ma'lum bo'lsa -da, yirtqichlarni keng turdagi taksonlarda, shu jumladan artropodlarda topish mumkin. Ular hasharotlar, jumladan mantidlar, ninachilar, dantelli qanotlar va chayonlar orasida keng tarqalgan. Alderfly kabi ba'zi turlarda faqat lichinkalar yirtqichdir (kattalar ovqat yemaydilar). O'rgimchaklar yirtqich, shuningdek, boshqa quruqlikdagi umurtqasizlar, masalan, chayonlar ba'zi oqadilar, salyangozlar va shilliq qavat nematodalari va planar qurtlar. Dengiz muhitida ko'pchilik cnidarians (masalan, meduzalar, gidroidlar), ctenophora (taroqli jele), echinodermlar (masalan, dengiz yulduzlari, dengiz kirpiklari, qum dollar va dengiz bodringlari) va yassi qurtlar yirtqich hisoblanadi. Qisqichbaqasimonlar orasida omar, qisqichbaqalar, qisqichbaqalar va panjalar yirtqichlar, va o'z navbatida qisqichbaqasimonlarni deyarli barcha sefalopodlar (shu jumladan sakkizoyoq, kalamar va qisqichbaqasimonlar) ovlaydi.
\\Urug'li yirtqichlik sut emizuvchilar, qushlar va hasharotlar bilan cheklangan, lekin deyarli barcha er usti ekotizimlarida uchraydi. Tuxum yirtqichlariga ba'zi kolubrid ilonlar kabi maxsus tuxum yirtqichlari ham, tulki va bo'rsiq kabi generalistlar ham kiradi, ular tuxumni topib olganlarida opportunistik tarzda olib ketadilar.\\
\textbf{Maltus Modeli.}
O'zaro ta'sir qiluvchi populyatsiyalar dinamikasini matematik tavsiflash muammolari uzoq tarixga ega. Tomas Maltusning ishida birinchi marotaba barcha o'sish modellari asosida aholi zichligining o'sish sur'ati aholi zichligiga mutanosib bo'lgan degan asosiy taxminlardan birini shakllantirdi. Tavsiya etilgan modelga muvofiq, har qanday tur, hech qanday cheklovlarsiz, o'z sonini eksponentsial qonuniyat bilan oshiradi, ya'ni\\
\begin{equation*}
\frac{dx}{dx}=mx
\end{equation*}\\
Bunda x – tur zichligi, m – populyatsiya o’sish ko’rsatkichi.
Maltus modeli aholining o'sishiga to'sqinlik qiladigan omillarni, masalan, cheklangan resurslarni yoki yashash joyining hajmini hisobga olmaydi. Pyer Fransua Ferhulst aholi sonining o'sishining pasayishini hisobga olgan holda logistik o'sish tenglamasini taklif qildi:
$$\frac{dx}{dt}=mx(1-xK)$$
\\Bu erda K - mavjud resurs bilan belgilanadigan ekologik joyning cheklangan quvvati (maksimal aholi zichligi). Biologik populyatsiyalarning dinamikasini tavsiflash uchun Raymond Pirl logistik o'sish qonunidan foydalangan. Keyinchalik bu tenglama Ferhulst-Pirl tenglamasi deb nomlandi.\\Eng sodda evolyutsion model bu populyatsiya dinamikasi modeli (Maltus modeli).\\
Matematik model birinchi darajali chiziqli differentsial tenglama uchun Koshi masalasidir.\\
$$\frac{dN(t)}{dt}=(\alpha(t)-\beta(t)), \quad N(t), N(0)=N_0,$$\\
Bu yerda N(t)-aholi soni, $\alpha(t)$-Ko`payish koeffitsiyenti, $\beta(t)$-o`lim koeffitsiyenti. Ushbu tenglama o'zgaruvchilarni ajratish usuli bilan yechiladi.
$$\frac{dN(t)}{N(t)=(\alpha(t)-\beta(t))dt}$$ $$\Rightarrow$$
$$\int\frac{dN(t)}{N(t)}=\ln|N(t)|=\int(\alpha(t)-\beta(t))dt+l\ln|C|, C\not=0.$$ $$\Rightarrow$$
$$N(t)=Ce^{\int(\alpha(t)-\beta(t))dt}.$$
$$\Rightarrow$$
$$N_0=Ce^{\int(\alpha(t)-\beta(t))dt |_{t=0}}\quad va\quad C=N_0e^{-\int(\alpha(t)-\beta(t))dt |_{t=0}}.$$
$$\Rightarrow$$
$$N(t)=N_0e^{(\alpha-\beta)t}.$$
\\ Olingan yechim tahlili quyidagilarni ko’rsatadi:
\\Agar $\alpha$ > $\beta$ bo’lsa, populyatsiya soni cheksiz o’sadi;
\\Agar $\alpha$ < $\beta$ bo’lsa, populyatsiya soni kamayadi;
\\Agar $\alpha$ = $\beta$ bo’lsa, populyatsiya soni o’zgarmayadi.\\
Agar koeffitsiyentlar vaqtga bog’liq bo’lsa, o’sish surati boshqacha bo’ladi.
\\
\quad Model cheklovlari\\
\quad Modelda boshqa populyatsiyalar bilan cheklangan resurslar va raqobat omillari hisobga olinmaydi, ammo $\alpha(t)$ va $\beta(t)$ funksiyalarini tanlash orqali ushbu omillar qisman hisobga olinishi mumkin. Ferhulst tomonidan aniqroq model taklif qilingan.
\\ \quad
Populyatsiya dinamikasini ko'rib chiqishda tenglamani olish uchun dastlabki taxminlar quyidagicha:\\
$\bullet$ Boshqa shartlar bir xil bo’lganda, populyatsiyaning ko'payish tezligi uning hozirgi hajmiga proportsional;\\
$\bullet$ Boshqa shartlar bir xil bo’lganda, populyatsiyaning ko'payish tezligi mavjud bo'lgan resurslar miqdoriga proportsional. Shunday qilib, tenglamadagi ikkinchi had aholining o'sishini cheklaydigan resurslar uchun raqobatni aks ettiradi.
\\
\begin{equation*}
A=
\begin{pmatrix}
a_{11} \quad a_{12} \quad a_{13}\\
a_{21} \quad a_{22} \quad a_{23}\\
a_{31} \quad a_{32} \quad a_{33}
\end{pmatrix} \qquad
B=
\begin{matrix}
a_{11} \quad a_{12} \quad a_{13}\\
a_{21} \quad a_{22} \quad a_{23}\\
a_{31} \quad a_{32} \quad a_{33}
\end{matrix}\qquad
C=
\begin{vmatrix}
a_{11} \quad a_{12} \quad a_{13}\\
a_{21} \quad a_{22} \quad a_{23}\\
a_{31} \quad a_{32} \quad a_{33}
\end{vmatrix}
\end{equation*}\\\\
\begin{cases}
x^2-3y+3z=8\\
5x+y^2-z=15\\
4x-y+3z^2=18
\end{cases}

\end{document}