Достижения вузовской науки 2023

10 
ДОСТИЖЕНИЯ ВУЗОВСКОЙ НАУКИ 2023
международный научно-исследовательский конкурс | МЦНС «НАУКА И ПРОСВЕЩЕНИЕ»







n
i
ij
n
j
C
1
,...,
2
,
1
1

(4)
удовлетворяет одному из условий, то доказывается, что итерационный процесс сходится к реше-
нию x данного уравнения в произвольном начальном векторе 
x
(0)
, т.е. 
 
k
k
x
x



lim
Таким образом, точное решение системы генерируется в результате бесконечных шагов, а про-
извольный вектор сгенерированной последовательности дает приближенное решение. Погрешность 
этого приближенного решения может быть выражена одной из следующих формул: 
 
 
 









1
,...
2
,
1
max
1
|
k
j
k
j
n
j
k
i
i
x
x
x
x


(5) 
если выполнено условие (3), или 
 
 
 







n
j
k
j
k
j
k
i
i
x
x
x
x
1
1
1


(6) 
если выполнено условие (4). Эти значения можно сильно усилить следующим образом:
 


 
 
1
max
1





k
i
k
i
k
i
i
x
x
x
x
m


или 
 
 
 









n
j
n
j
k
j
k
j
k
i
i
x
x
x
x
1
1
1
1


процессы обработки завершаются, когда приведенные выше значения удовлетворяют заданной 
точности. 
Начальный вектор 
x
(0)
, вообще говоря, может быть выбран произвольно. Иногда принимают 
x
(0)
= 
f. Однако в качестве компонент вектора 
x
(0) 
принимаются значения неизвестных, определяемые во мно-
гих предположениях. 
Систему (1) можно сделать похожей на (2) несколькими способами. Должно выполняться только 
одно из условий (3) или (4).
Если диагональные элементы матрицы А отличны от нуля, т.е. 
 
a
ii
 

 0
(i=1,2,…,n) 
то заданная система 































1
1
,
1
1
2
3
23
1
22
2
22
2
1
2
12
1
11
1
...
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
1
...
1
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
x
a
x
a
b
a
x
x
a
x
a
x
a
b
a
x
x
a
x
a
b
a
x
(7) 
можно записать как В этом случае элементы матрицы S определяются следующим образом: 


0
,




ii
ii
ij
ij
C
j
i
a
a
C
а условия (3) и (4) принимают соответственно следующий вид: 

---

ДОСТИЖЕНИЯ ВУЗОВСКОЙ НАУКИ 2023
11 
www.naukaip.ru








n
j
ii
ij
i
j
n
i
a
a
a
1
,...,
2
,
1
1
(8) 







n
i
ii
ij
n
j
a
a
1
,...,
2
,
1
1

(9) 
Неравенства (8) и (9) являются диагональными элементами матрицы A 


n
i
a
a
i
j
ij
ii
,...,
2
,
1




(10) 
Он будет действительным, если будут соблюдены условия.
Пример 1. Решите следующую систему простым итерационным методом:



































32
20
2
2
10
5
10
19
3
2
20
2
11
2
5
25
6
2
3
10
5
4
3
2
1
5
4
3
2
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Решение. Как было сказано в первом способе, разделим уравнения этой
системы на 10, 25, - 20, 10, 20 соответственно и запишем их в следующем виде:
































4
3
2
1
5
5
3
2
4
5
4
2
1
3
5
4
3
1
2
5
4
3
2
1
1
,
0
05
,
0
1
,
0
05
,
0
6
,
1
5
,
0
1
,
0
1
,
0
1
15
,
0
1
,
0
05
,
0
1
,
0
95
,
0
08
,
0
2
,
0
04
,
0
04
,
0
44
,
0
1
,
0
2
,
0
3
,
0
1
,
0
6
,
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
где условие (8) выполнено. Действительно, 




















5
1
5
5
1
4
5
1
3
5
1
2
5
1
1
;
1
3
,
0
;
1
5
,
0
;
1
41
,
0
;
1
28
,
0
;
1
3
,
0
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
C
C
C
C
C
Взяв в качестве начального приближения x
(0)
столбец свободных значений (0,6; 0,44; 0,95; 1; 1,6), 
находим следующие приближения: 
 
 
 
 
 
0
5
0
4
0
3
0
2
1
1
1
,
0
2
,
0
3
,
0
1
,
0
6
,
0
x
x
x
x
x





= 
0,6 – 0,1 

0,44 + 0,3 

0,95 + 0,2 

1 – 0,1 

1,6 = 0.881 
 
1
2
х
= 0,44 + 0.04

0,6 – 0,04

0,95 + 0,2 

1 + 0,08 

1,6 = 0,754 
Аналогично 
 
1
3
х
= 0,892; 
 
1
4
х
= 1,851; 
 
1
5
х
= 1,72.
Приведем продолжение расчетов в таблице 1: 

---

12 
ДОСТИЖЕНИЯ ВУЗОВСКОЙ НАУКИ 2023
международный научно-исследовательский конкурс | МЦНС «НАУКА И ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Таблица 1 
K 
 
k
х
1
 
k
х
2
 
k
х
3
 
k
х
4
 
k
х
5
0 
0,6 
0,44 
0,95 
1 
1,6 
1 
0.881 
0,754 
0.892 
1,851 
1,72 
2 
0.9884 
0.9482 
1,0029 
1,9147 
1,9859 
3 
0,9904 
0,9814 
0,9908 
1,9939 
1,9854 
4 
0,99944 
0.99753 
0,99789 
1,99364 
1.99897 
5 
0,99839 
0,99865 
0,99929 
1,99954 
1,99970 
6 
0.99986 
0,99989 
0,99977 
1,99976 
1.99960 
7 
0,999934 
0,999920 
1,000018 
1,999788 
1,999947 
8 
0.999974 
0,999951 
0,999976 
2,000042 
1,999978 
Из таблицы 1 выше мы видим, что 8-я итерация 
x
1
= 0,999974; x
2
= 0,99951; x
3
= 0,99998; x
4
= 
2,00004; x
5
= 1,99998
решений. Это приближенное решение является точным решением 
x
1*
= x
2*
= x
3*
= 1;
x
4*
= x
5*
= 2 
Единицы пятой комнаты отличаются только в этом отношении. 
Список источников 
 
1. Alimardanovich N. T., Xolmirza o’g’li X. Y. GIPERBOLIK TIPDAGI TENGLAMA UCHUN TO’RLAR 
USULI. – 2022. 
2. Xolmirza o’g’li X. Y., Alimardanovich N. T. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLI ODDIY DIFFERENSIAL 
TENGLAMALARNI YECHISHNING PROGONKA USULI VA UNING TADBIQI. – 2022. 
3. Alimardanovich N. T. CHIZIQSIZ TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISH //International Journal of 
Contemporary Scientific and Technical Research. – 2022. – С. 323-327. 
4. Nuraliyev, T., & Xandamov, Y. (2022). Оddiy differensial tenglamalarni sonli yechish. Zamonaviy 
innovatsion tadqiqotlarning dolzarb muammolari va rivojlanish tendensiyalari: yechimlar va istiqbollar, 1(1), 
347-349. 
5. Alimardanovich N. T., Abduqodirovich N. N. PLASTINKA UCHUN IKKI O’LCHOVLI ISSIQLIK 
O’TKAZUVCHANLIK TENGLAMASINI SONLI YECHISH //ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ 
ИДЕИ В МИРЕ. – 2023. – Т. 15. – №. 3. – С. 141-143. 
6. Alimardanovich N. T. et al. ODDIY ITERATSION USUL //ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И 
ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ. – 2023. – Т. 20. – №. 1. – С. 160-168. 
7. Alimardanovich N. T. et al. ZEYDEL USULI //ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ 
ИДЕИ В МИРЕ. – 2023. – Т. 20. – №. 1. – С. 169-176. 
8. Alimardanovich N. T. et al. CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR TIZIMINI ECHISH. 
ITERATSION USULLAR //ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ. – 2023. – Т. 20. 
– №. 1. – С. 153-159. 
 
 

---

ДОСТИЖЕНИЯ ВУЗОВСКОЙ НАУКИ 2023
13 
www.naukaip.ru
УДК 330 
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ 
ФУНКЦИЙ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА 
Бозоров Аллохназар Ражабович, 
Абдулазизов Адхамжон Абдулхонович, 
Аскаров Дилшодбек Жахонгирович, 
Aбдурахмонов Жавохир Ёркулович 
студенты 
Джизакского филиала Национального университета Узбекистана 
 
Научный руководитель: Иброхимов Жавохир Бахромович, 
преподаватель
Джизакского филиала Национального университета Узбекистана 
 
Аннотация: как известно, существует несколько способов вычисления интеграла сложных рациональ-
ных дробей. Например: схема Горнера, методы с использованием дифференцирования и метод Хеви-
сайда. Исходя из вида и состояния заданной рациональной функции, используем наиболее удобный 
способ. Если знаменатель рациональной дроби имеет вид (x − a)
n
, удобно разложить эту рациональ-
ную дробь на простые дроби по схеме Горнера, а затем проинтегрировать. 
Ключевая слова: Рациональная функция, схема Горнера, методы интегрирования, простые дроби, 
полином n-й степени, многочлен 
INTEGRATION OF RATIONAL FUNCTIONS ACCORDING TO HORNER'S SCHEME 
 
Bozorov Allokhnazar Razhabovich, 
Abdulazizov Adhamjon Abdulkhonovich, 
Askarov Dilshodbek Zhakhongirovich,