Движение материальной точки. Общий случай криволинейного движения материальной точки; основные характеристики движения

t
s
cр
D
D
=
J
(1.1)
В общем случае криволинейного(и прямолинейного) движения средняя скорость
может быть различной на разных участках траектории и зависит от пути Δs, или, что тоже, от
промежутка времени Δt. Следовательно,
ср
J
недостаточно полно характеризует движение.
Поэтому вводят понятия мгновенной скорости (скорости в данный момент времени в данной
точке). Будем бесконечно уменьшать промежутоквремени, т. е положим
0
®
Dt
. Тогда
точка В стремится к точке А, хорда АВ – к дуге Δs и обе они в пределе совпадут с
касательной АС. Таким образом, криволинейное движение по малой дуге Δs перейдет в
прямолинейное движение по бесконечно малому отрезку касательной к траектории вблизи
точки А, а средняя скорость на малом пути Δs перейдет в мгновенную скорость
J
в точке А.
Поэтому величина мгновенной скорости
dt
ds
t
s
t
ср
t
=
D
D
=
=
®
D
®
D
0
0
lim
lim
J
J
(1.2)
ср
t
J
J
0
lim
®
D
=
.
Из формул (1.1) и (1.2) следует, что скорость выражается в метрах в секунду (м/с).
Движение материальной точки называется равномерным, если его скорость не изменяется с
течением времени; в противном случае движение называется неравномерным.
Неравномерность движения характеризуется физической величиной, называемой
ускорением.
Пусть 
материальная 
точка
переместилась за малый промежуток
времени Δt из А, где она имела скорость
1
J
, в В, где она имеет скорость
2
J
(рис.1.5).
Изменение (приращение) скорости
точки есть вектор
J
D , равный разности векторов конечной и начальной скоростей:
1
2
J
J
J
-
=
D
.
Отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение
произошло, называется средним ускорением а
ср
:
t
a
cр
D
D
=
J
(1.3)
Из правила деления вектора на скаляр следует, что среднее ускорение направлено так
же, как приращение скорости, т. е. под углом к траектории в сторону ее вогнутости (рис.1.4).
В общем случае среднее ускорение может быть различным на различных участках
траектории. Оно зависит от промежутка времени, по которому проводится усреднение.
Будем уменьшать промежуток времени. В пределе при
0
®
Dt
точка В будет стремиться к
точке А и среднее ускорение на пути АВ превратится в мгновенное ускорение а в точке
А.Поэтому
dt
d
t
a
a
t
ср
t
J
J
=
D
D
=
=
®
D
®
D
0
0
lim
lim
(1.4)
Рис.1.5

---

Итак, мгновенное ускорение движения в любой точке траектории есть вектор,
направленный под углом к траектории в сторону ее вогнутости, а по модулю равный пределу
среднего ускорения при стремлении промежутка времени кнулю.
Из формул (1.3) и (1.4) следует, что ускорение выражается в метрах на секунду в
квадрате (м/с
2
).
Вектор ускорения принято раскладывать на две составляющие, одна из которых
направлена по касательной к траектории и называется касательным или тангенциальным
ускорением а
к
, другая – по нормали к траектории и называется нормальным или
центростремительным ускорением а
ц
(рис. 1.5). Будучи перпендикулярным касательной,
вектор а
ц
направлен по радиусу кривизны траектории к центру кривизны О (рис. 1.6), отсюда
название – центростремительное ускорение.
Ускорение 
и 
его
составляющие 
связаны
между собой очевидными
соотношениями:
ц
a
a
a
+
=
k
,
2
2
ц
к
а
a
a
+
=
Касательное 
ускорение
изменяет только величину
скорости, а
центростремительное
ускорение – только 
ее
направление.
Очевидно, что криволинейное движение происходит всегда с ускорением, так как в
этом случае скорость обязательно изменяется (по крайней мере, по направлению).
Пользуясь понятиями высшей математики, можно заменить пределы отношений,
стоящих в формулах (1.2) и (1.4), производными и написать:
J
=ds/dt и а=d
J
/dt, где ds, d
J
и dt
означают соответственно бесконечно малые изменения (дифференциалы) перемещения,
скорости и времени. Следовательно, скорость представляет собой производную
перемещения по времени, а ускорение – производную скорости по времени.
Рис.1.7
Баллистическое движение (движение тела над поверхностью Земли, рис.1.7), если
пренебречь сопротивлением воздуха, можно рассматривать как два отдельных движения:
движение по горизонтали с постоянной скоростью и движение по вертикали с постоянным
ускорением g (т.е. движение тела, падающего вертикально вниз), но только в том случае,
когда движение происходит не очень высоко над поверхностью Земли. Первым, кто
правильно описал баллистическое движение, был Галилей; он показал, что это движение
можно полностью описать, анализируя горизонтальную и вертикальную составляющие
движения но отдельности. Это был совсем новый метод; до Галилея никто ничего подобного
не делал.