Движение материальной точки. Общий случай криволинейного движения материальной точки; основные характеристики движения

Движение материальной точки по окружности
Рассмотрим движение материальной точки по окружности с постоянной по модулю
скоростью. В этом случае, называемом равномерным движением по окружности, касательная
составляющая ускорения отсутствует (а
к
= 0) и ускорение совпадает со своей
центростремительной составляющей (а = а
ц
). Определим величину центростремительного
ускорения.
Каждая частица тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, движется по
окружности радиусом R, центр которой лежит на оси вращения. Линия, проведенная
перпендикулярно оси вращения к любой точке тела, за одинаковые промежутки времени
поворачивается на один и тот же угол φ .Чтобы определить положение тела или угол, на
который оно повернется, угол φ для каждой такой линии будем отсчитывать от некоторой

---

опорной линии, например от оси х Частица, принадлежащая телу, перемещается на угол φ и
проходит при этом расстояние R/l, измеряемое вдоль ее траектории, которая представляет
собой окружность. Углы принято измерять в градусах, но математические выражения,
описывающие вращательное движение, выглядят проще, если измерять углы в радианах.
Один радиан (рад) определяется как угол, стягиваемый дугой, длина которой равна радиусу
окружности. В общем случае любой угол φ (в радианах) определяется выражением Q = l/Я,
где R-радиус окружности, а l-длина дуги, стягиваемой углом φ. Радианы можно связать с
градусами следующим образом. Полная окружность соответствует углу 360°, что,
разумеется, должно соответствовать дуге, длина которой равна длине окружности l = 2nR.
Тогда угол, соответствующий полной окружности, равен φ = l/R = = 2nR/ R = 2
p
рад; отсюда
находим, что . 360° = 2
p
рад. Следовательно, один радиан равен 360°/2
p
= 360°/6,28 = =
57,3°.
Пусть за малый промежуток времени Δt точка прошла путь Δs, переместившись из
точки А, где она имела скорость
1
J
,в точку В, где она имеет скорость
2
J
, а радиус-вектор
движущейся точки повернулся на малый угол Δφ (рис. 1.8).
Построим вектор изменения скорости
1
2
J
J
J
-
=
D
и
определим его величину Δ
J
;
BCD
AOB
Ð
=
Ð
как углы с
взаимно перпендикулярными сторонами;
J
1
=
J
2
=
J
, так как по
числовому значению скорость постоянна. Следовательно,
ΔАОВ и ΔBCDподобны как равнобедренные с одинаковыми
углами при вершине, поэтому
Рис. 1.8.
R
AB
=
D
J
J
и
AB
R
J
J
=
D
.
Тогда, согласно формуле (1.4),
t
R
AB
t
a
t
t
D
×
=
D
D
=
®
D
®
D
J
J
0
0
lim
lim
,или, учитывая, что
J
и R
постоянны и а = а
ц
, получим
t
AB
R
a
t
ц
D
=
®
D 0
lim
J
.
При Δt, стремящемся к нулю, хорда АВ стремится к дуге Δs, поэтому
J
=
D
D
=
D
®
D
®
D
t
s
t
AB
t
t
0
0
lim
lim
.
Следовательно,
R
a
ц
2
J
=
.(1.9)
Рис. 1.7 позволяет еще раз убедиться в том, что полученное ускорение действительно
является центростремительным. В самом деле, при
0
®
Dt
будет и
0
®
D
j
. При этом
векторы Δ
J
и а, имеющие одинаковое направление,совпадут с радиусом окружности и будут
направлены к ее центру О.
Наряду со скоростью
J
, равномерное движение материальной точки по окружности
можно характеризовать угловой скоростью ω, понимая под нею отношение угла ∆φ поворота
радиуса R (т.е. отношение углового пути) к промежутку времени ∆t, за который этот поворот
произошел (см. рис.1. 7)
t
D
D
=
j
w
.(1.10)
Для неравномерного движения вводится понятие мгновенной угловой скорости
dt
d
t
t
j
j
w
=
D
D
=
®
D
0
lim
.
Единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с или с
-1
).

---

1 рад/с – угловая скорость равномерно вращающегося тела, при которой за время 1 с
совершается поворот тела относительно оси на угол1 рад.
В отличие от угловой скорости ω скорость
J
принято называть линейной.
Умножая обе части равенства (1.10) на R и учитывая, что
s
R
D
=
D
×
j
(так как Δφ
выражается в радианах), получим соотношение, связывающее линейную скорость с угловой:
R
×
=
w
J
.(1.11)
Введем еще две характеристики движения материальной точки по окружности:
период вращения Т (время одного оборота точки по окружности) и число оборотов в
единицу времени ν. Очевидно, что Т и v – величины взаимно обратные:
v
Т
1
=
. (1.12)
Единицей измерения периода вращения является секунда (с); единицей измерения
частоты вращения – герц(Гц).
1Гц – частота периодического процесса,при которой за время 1 с происходит один
цикл периодического процесса.
Так как за период Т радиус окружности, связанный с материальной точкой,
повернется на угол 2
p
, то
T
p
w
2
=
.(1.13)
Из формул (1.11) - (1.13) следует, что
Rv
T
R
p
p
J
2
2
=
=
.(1.14)
При неравномерном движении материальной точки по окружности вместе с линейной
скоростью изменяется и угловая. Поэтому можно ввести понятие углового ускорения (по
аналогии с линейным ускорениема).
Средним угловым ускорением
b
ср
называется отношение изменения угловой
скорости ∆ω к промежутку времени, за который это изменение произошло:
t
ср
D
D
=
w
b
(1.15)
Мгновенным угловым ускорением называется предел среднего углового ускорения
при стремлении промежутка времени кнулю:
dt
d
t
t
w
w
b
=
D
D
=
®
D
0
lim
. (1.16)
При
const
R
=
изменение
w
D обусловлено только изменением
J
D . Поэтому
w
J
D
×
=
D
R
, откуда
R
u
w
D
=
D
.
Подставляя последнее выражение в формулу (1.16), получим
R
a
t
R
t
R
t
t
=
D
D
=
D
×
D
=
®
D
®
D
J
J
b
0
0
lim
1
lim
, откуда
R
a
×
=
b
.(1.17)
Угловая скорость и угловое ускорение – величины векторные. Вектор
угловой скорости ω направлен из
центра 0 окружности с радиусом R,
по которой движется материальная
точка
А,
перпендикулярно
плоскости этой окружности (рис.
1.8) в сторону поступательного
движения 
буравчика, рукоятка
которого вращается в направлении
линейной скорости
J
.
Рис.1.9

---

Очевидно, что вектору –ω соответствует противоположное направление движения
(вращения) материальной точки. Что касается углового ускорения
b
r
, то его направление
совпадает с направлением вектора изменения угловой скорости
w
r
D .
При равнопеременном движении материальной точки по окружности (а