Движение вокруг фиксированной точки. Углы Эйлера. Аксоиды

Рис. 1.21.

Скорость произвольной точки твердого тела можно рассчитать как линейную скорость вращательного движения вокруг мгновенной оси:

(1.23)

где r - радиус-вектор точки относительно начала системы XYZ или x₀y₀z₀, совмещенного с точкой закрепления. Следует только иметь в виду, что, в отличие от вращения вокруг неподвижной оси, "плечо" вектора v (расстояние рассматриваемой точки до мгновенной оси вращения) является функцией времени.

Ускорение произвольной точки твердого тела

(1.24)

состоит из двух частей: ускорения, связанного с неравномерностью вращения (изменением  по величине)

(1.25)

и центростремительного (нормального) ускорения

(1.26)

где  - радиус-вектор, проведенный от мгновенной оси вращения в рассматриваемую точку. Здесь следует помнить, что угловое ускорение  связано с изменением угловой скорости не только по величине, но и по направлению, так что  и  не перпендикулярны друг другу.

Проекции вектора мгновенной угловой скорости  на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом, можно выразить через углы Эйлера  (см. Рис. 1.3) и их производные по времени  Действительно, вектор  можно представить в виде суммы трех составляющих:

(1.27)

Здесь  и  - единичные векторы вдоль осей Oz и Oz₀ соответственно,  - единичный вектор вдоль линии узлов OA (на рис. 1.3 эти орты не показаны). Определим проекции векторов  входящих в (1.27), на оси системы xyz (см. рис. 1.3):

(1.28)

(1.29)

(1.30)

Из (1.27 - 1.30) получим:

(1.31)

(1.32)

(1.33)

Уравнения (1.31-1.33) называются кинематическими уравнениями Эйлера. Они, в частности, позволяют определить величину и направление вектора мгновенной угловой скорости  если закон движения тела задан в виде (1.22).

В ряде случаев вращение тела с закрепленной точкой вокруг мгновенной оси удобно представить как суперпозицию двух вращений вокруг пересекающихся осей. В случае, изображенном на рис. 1.22, вершина конуса шарнирно закреплена в точке О; ось конуса горизонтальна, а основание конуса катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости S. Вектор угловой скорости  направлен вдоль мгновенной оси вращения ОМ (скорость точек О и М равна нулю); при движении конуса мгновенная ось вращения изменяет свое положение, описывая некоторую коническую поверхность с вершиной в точке О. Абсолютное вращение конуса с угловой скоростью  можно представить в виде суммы

(1.34)

где  - угловая скорость относительного вращения конуса вокруг собственной оси симметрии,  - угловая скорость переносного вращения самой оси конуса вокруг вертикали. Если задана  то

где  - угол полураствора конуса,  - радиус основания конуса,  - его высота.