Е. А. Перминов методическая система обучения дискретной математике в аспекте интеграции образования монография

b – произвольные числа, с операцией сложения многочленов является 
группой. В этой группе нулем является многочлен 0x + 0 . Для мно- 

–ax – b. 

его самосовмещениями (рис. 4.6): 

+ 


n 


n 


n 


n 

n0 
n0 
n1 
n2 
n3 

n1 
n1 
n2 
n3 
n0 

n2 
n2 
n3 
n0 
n1 

n3 
n3 
n0 
n1 
n2 

Рис. 4.6 

Это множество является группой, в которой 0 есть вращение на 
0 градусов, а противоположными являются вращения, сумма градус- 

Таблица сложения, согласно которой выполняется операция сло- 
жения элементов группы, называется таблицей Кэли, по имени не- 

цы для записи сложения элементов группы. 

следующим образом изложить понятие произвольной алгебраической 
операции. 

ется двухэлементное подмножество {a, b} элементов множества, в кото- 
ром элемент а находится на первом месте. Поэтому (a, b) и (b, a) – 

231 

Затем объясняется, что операции возведения числа a 
R в n-ю 

чие от этих операций, операции умножения чисел из R и сложения 
векторов являются бинарными операциями. Поскольку операции про- 

нии операции имеется приставка «би-» (напомним, что «би» в пере- 
воде с латинского означает «два»). 

Пусть A – непустое множество. Говорят, что на множестве A задана 
бинарная алгебраическая операция, если каждой упорядоченной паре 

правилу единственный элемент этого же множества A. 

торому каждой упорядоченной паре натуральных чисел из R (векто- 
ров) ставится в соответствие их произведение (сумма), является алго- 

Необходимо объяснить, что правила (описания), с помощью ко- 
торых задаются (описываются) бинарные алгебраические операции, 

правило, задающее на множестве R бинарную операцию, по 

a, 


b) чисел ставится 

в соответствие число 
. Нельзя назвать формулой правило, по ко- 

a, b) чисел из N ставится 

Отмечается, что кратко бинарную алгебраическую операцию на 

a * b = c. Например, a * b = НОД (a, b) или a * b =

. При этом 

a * b называют результатом операции «*» с элементами a и b. Когда 
речь идет об одной и той же операции, слова «бинарная алгебраиче- 

232 

Для наиболее употребительных операций зафиксированы сле- 
дующие обозначения: «+», «–», «×», «:» – для арифметических опера- 

После этого приводятся примеры множеств с бинарными алгеб- 

раическими операциями: 

2) множество многочленов (одной переменной с действительны- 
ми коэффициентами) с операциями сложения, вычитания, умножения; 

4) множество действительных чисел R с операцией a v b = max (a, b), 
где есть большее из чисел a и b; 

объединения и пересечения. 

понятие упорядоченной пары. Поэтому следует заметить, что, подстав- 
ляя в равенство a * b = b * a вместо знака * символ соответствующей 

коммутативный, т. е. переместительный, закон. Именно по этой при- 
чине в определении бинарной алгебраической операции говорится об 

Далее следует вернуться к самому определению алгебраической 

операции и объяснить подробнее, что означают слова «на множестве 

Для того чтобы операция была задана на множестве A, по опре- 
делению предъявляются три требования: 

жен существовать или быть известен для каждой пары элементов a, b 
множества A. Например, для пары a, 0 на множестве R не существует 

результат операции a * b = 
. На множестве R не каждой пары (a, b) 

ab  извлечения корня. 

жен быть единственным. Например, результатом операции извлече- 

233 

ния корня 

3. Замкнутость операции. Результат a * b операции * на множе- 
стве A должен принадлежать этому же множеству. Например, резуль- 

числом и, следовательно, может не принадлежать N. Поэтому вычи- 
тание на множестве N не является бинарной алгебраической операци- 

ская операция. 

множестве A является отображением φ множества всевозможных пар 
элементов A (декартова квадрата A ) в это же множество A. Если при 

вместо φ (a, b) = c обычно пишут a * b = с. Элемент с назвается еще 
композицией элементов a и b. 

типликативная формы записи бинарной операции. При аддитивной 
записи операцию называют сложением, а ее результат элемент a + b – 

жением, а ее результат элемент a · b – произведением. 

лее глубокому профильному обучению студентов понятию n-арной ал- 
гебраической операции, алгебры, алгебраической структуры и основ- 

Итак, основными особенностями методики обучения студентов 
педагогических направлений подготовки понятиям алгебраической 
операции, алгебры и их основным свойствам являются следующие. 

глядных понятий группы вращений правильного треугольника и квад- 
рата, групп целых чисел по сложению и др. Во-вторых, разъясняются 

234 

ее определения. В-третьих, устанавливаются внутрипредметные связи 
математики (использование понятий вектора, наименьшего общего 

Содержательная часть этого раздела может быть использована 
при построении элективных курсов по математике для школьников, в 

ции, алгебры и их основным свойствам.