E. rasulov, U. Begimqulov

(13.41)
ko'rinishdagi  munosabatga  olib  keladi.
(13.39),  (13.40)  va  (13.41)  lami  (13.37)  tenglamaga  qo'yamiz  va 
natijada,
íftí- -£\|i(x)  e 
+  U\if{x)e
V  Ä 
y 
2m 
a x  
r
tenglik  kelib  chiqadi.  Bu  tenglikni  ikkala  tomonini  exp
iEt
ko'-
paytuvchiga  qisqartirib  va
ni
ga  almashtirib
(13.42)
tenglamani  hosil  qilamiz.  Ushbu  tenglamaga  Shryodingeming  vaqtga 
bog'liq  bo'lmagan  yoki  statsionar  tenglama
  deb  ataladi.  Bu  tenglama­
dagi  v(x)  funksiyani  ham  to'lqin  funksiya  deb  atashadi.
(13.42)  tenglamani  kanoniK  (standart)  shaklda  yozamiz,  ya’ni
boq
judi
a  oson yozish  mumkin:
(13.43)
potensial  funksiya  oshkor  ravishda 
idi.  (13.43)  tenglamani  o'lchamli  fazoga  liam
Bu  tenglamada  l/(x)  -   potensial  funksiya  oshkor  ravishda  vagtga 
bog'liq  emas  deb  hisoblanadi.
v V W + § ^ ( f - t / V ( f )  = o.
n
(13.44)
13.7.  Shryodinger tenglamasi va yechimining asosiy xossalari. 
Energetik sathlarni kvantlanish!
Keyingi  boblardan  birida  biz  Shryodinger  tenglamasini  bir  nechta 
fizikaviy  masalaga  qo'llab,  hosil  bo'lgan  yechimlari  bilan  sizni  mufas-
2 8 8

K V A S T   F IZ IK A SI
sal  tanishtiramiz.  Hozir  esa 
U(r)
  potensial  maydonning  ko'rinishini 
aniqlashtinnasdan,  Shryodinger  differensial  tenglamasini  xususiy 
yecnimlarining  umumiy xossalari haqida  to'xtalamiz.
Uzluksiz  fazoviy  o'zgaruvchilarning  uzluksiz  funksiyalari  qatnash- 
gan  differensial  tenglamadan  qanday  qilib  kvant  effektlari,  masalan, 
atomda  energiyaning  diskret  sathlari  hosil  bo'ladi  degan  savolga  javob 
berishga  harakat  qilamiz.  Atomning  potensial  «qudug‘i»ga  tushib  qol- 
gan  elektron  energiyasi,  fazoning  m aium   sohasida  qolishga  majbur 
bo'lib,  u  faqat  aniq  diskret  qiymatlar qabul  qilishi  kerak,  degan  faktni 
biz yaxshi  tushunib  olishimiz kerak.
Soddalik  uchun  elektron  bir  o'lchamli  fazoda 
x
  o'qi  bo'yicha 
harakat  qilsin  va  uning  potensial  energiyasi  - 
U(x)
  13.4-rasmda  tasvir- 
langani  kabi  o'zgarsin.  Bu  potensial  statik,  y a ’ni  vaqt  o'tishi  bilan 
o'zgarmasin.  13.4a-rasmdagi  ko'rinishga  ega  bo'lgan  potensial  egrilik 
kvant  mexanikaning  juda  ko'p  turli  masalalarida  ishlatiladi.  Masalan, 
ikki  atomli  molekulada  atomlar  orasidagi  o'zaro  ta’sir  potensial  ener­
giyasi  xuddi  shunday  ko'rinishga  ega.  Bu  holda  atomlar  markazlari 
orasidagi  masofa 
x
  ga  teng  va  u 
U(x)
  funksiyaning  minimumi  esa 
molekulada  atomlaming  muvozanat  holatini aks  ettiradi.
«)
b)
13.4-rasm.
a)  X  o'qi  bo')iab harakatlanayotgan  zana  uchun  potensial  o'ra; 
b)  turli  sohalarda  to'lqin  funksiyaning  ko‘rinishi.
I
I
•v'
289

KVANT  F IZ IK A SI
bo
Bu  hol  uchun  (13,43)  Shryodingeming 
iib ,  uni quyidagi  ko'rinishda yozamiz:
statsionar  tenglamasi  o'rinli
(13,45)
va  uning  yechimini  (13,39)  ko'rinishda  izlaymiz.  Bilamizki,  bu  funksiya 
aniq  chastotaga,  y a’ni  aniq  energiyaga  javob  beruvchi  holatlarni 
ifodalaydi,
(13,45) 
tenglamadan  ko'rinadiki,  v)/(jc)  funksiyadan 
x
 bo'yicha  olin­
gan  ikkinchi tartibli  hosila  doimo  shu \|/(x)  funksiyaning  o'ziga  propor­
sional  va  bunda 
(U{x)  -   E)
  ko'paytma  proporsionallik  koeffitsiyentini 
bajaradi,  Matematik  tahlildan yaxshi bilamizki,  \|/(x)  dan  olingan  ikkin­
chi  tartibli  hosila  shu  \|/(x)  funksiya  og'ishishini  tezligini  ifodalaydi. 
Agar  tZ-potensial  zarra  energiyasi 
E
  dan 
(U>E)
  katta  bo'lsa,  u  holda 
vi/(x)  funksiyaning  og'ishish  (krivizna)  tezligining  ishorasi,  \|/(x)  funk­
siyaning  ishorasi bilan bir xil bo'ladi,  Bu  degani \|i(x)  funksiya  o'zining 
do'ngligi  bilan  x  o'qiga  burilgan  va  e'*'^  eksponentaning  musbat  yoki 
manfiy  yo'lini  ifodalaydi.  13.4a-rasmdagi  chizmada  x  o'qining  Xi 
nuqtadan  chap  tomonidagi  sohada 
U>E
  bo'lgani  uchun  v|/(x)  funk­
siyaning  bu  sohadagi  ko'rinishi  13.5a-rasmdagi  egrilikdan  birortasiga
o'xshagan  bo'lishi  mumkin.  Mabodo, 
U
  bo'lsa,  u  holda 
^
dx^
ning
ishorasi  aksincha, 
a
)/(
x
) 
ishorasiga  teskari  bo'ladi.  Bu  holda  \)/(x)  egrilik 
o'zining  botiqligi  bilan  doimo  x  o'qi  tomon  qaragan  bo'ladi.  13.5b- 
rasmda  shunday egriliklar keltirilgan.
V(x)
13.5-rasm.
  U>E  va  Ubo'lgan   formalari  (shakllari).
290

KVANT  FIZIKASI
Zarra  to ia   energiyasining  qiymati 
U
  dan  kichik  bo igan   holda  u 
potensial  o‘ra  tomonidan  “ushlanib”  qoladi  va 
< x  <
 
sohada 
o'rnashib  (lokallashib)  qoladi.  Bu  hol  uchun  yuqorida  aytganimizdek,
.^ ^ n in g   ishorasi  ^ [ f / ( x ) - £ :]   bilan  \(/(x)  funksiyaning  ishoralari 
dx~ 
h
orqali  aniqlanadi. 
Ox
 o‘qni uchta intervalga boiaylik: 
x< x^ ,
 
x,  < x < 
, 
x > X j .  
Birinchi  va  uchinchi  intervallar  uchun 
í 7 ( x ) - £ ] > 0 ,  
ikkinchi
interval  uchun  [[/ (x )-£ 'J<  0 .  Demak,
dx^
va  vix)  ni  birinchi  va
uchinchi  sohalarda  \|/  funksiyani  grafigi 
x
  o‘qiga  o‘ng  tomoni  bilan 
qaragan  (\|/>0  va  \j/<0  hollar  uchun)  va  ikkinchi  sohada  botiq  tomoni 
qaragan.  13.5-rasmda  toiqin  tenglamaning  yechimi  b o igan   \|/(x)  funk­
siyaning  mumkin bo igan  ko‘rinishlaridan  biri tasvirlangan.
i / y
dx'^
-ni  v(x)  bilan  bogiovchi  (13.45)  tenglama  har  qanday  differ­
ensial  tenglama  kabi  umumiy yechimga  ega. 
x
=X
q
 nuqtada  \|/ va  uning
birinchi  hosilasi
dl//
~dT
ni  xususiy  qiymatini  berilishi 
x
  ning  barcha  qiy­
matlari  uchun \)i(x)  ni xususiy yechimini beradi.
.Xo  nuqtani,  masalan,  ikkinchi  sohada  tanlaylik  va  uning  uchun 
dy/
V(Xo)  va
dx
ni  qiymatlari  ham  berilgan  bo isin  (13.6-rasm).
dastlabki  qiymat  \|/(xo)>0  ni  tanlaganimiz uchun,  ikkinchi  sohada  uning 
botiqligi 
X
  ga  qaragan  (13.4b-rasm)  egrilik  misolida 
x
  o'qining  ortishi 
yo'nalishida  \|/(x)  ning  y o iin i  tahlil  qilamiz  (13.6-rasm).  Ill  sohaga  yet- 
guncha  egrilikning  botiqligi 
x
  o‘qiga  tomon  qaragan  holda  boiadi. 
Sohaning  chegarasi 
x —x^
  nuqtada  [t/ (x )-£ '  kattalik  ishorasini  o‘z-
gartiradi,  \|i  funksiyaning  qiymati  musbatligicha  qoladi.
i / y
esa  nolga
teng  boiadi.  Berilgan  boshlangich  shartda 
ÍÜL
dx
dx^
<0  bo igan i  uchun
dy/
dx
hosila  x= x
2
  nuqtada  eng  kichik  manfiy  qiymatga  ega  boiadi.
so'ngra  u  III  sohada  o‘sa  boshlaydi.  Shunday  qilib, 
x = x
2
  nuqtada 
egrilik  qayrilishi  ro‘y   beradi;  III  sohada  egrilik  manfiy  og'ishishi  aw al
I
291

KVANT  F IZ IK A SI
nol,  so'ngra  musbat  bo‘ladi.  Og'ishning  o'zgarish  tezligi,  y a ’ni 
— ^
dx
U{x) — E\
  ga  va 
ox
  o'qidan  egrilikkacha  bo igan  masofa  \|/(x)  ga  pro­
porsional.  Pirovardida  III  cohada  1-egrilik cheksiz o‘sa boshlaydi.
Dastlabki  shartlarni  boshqacha  berilishida  \|
í
(
x
)  xatti-harakatini  ik­
kinchi  egrilik  ifodalasin,  Masalan,  uning  uchun  \)/(
a
:
o
)  ni  qiymatini
o'zgartirmay
dy/
dx
ning  qiymatini  sal  kamroq  olamiz.  Bu  holda  2-
egrilik  III  sohada  x-^ + °°  da  v   funksiya  -<»  ga  intiladi.  Agar 
x
=X
q
nuqtada
dy/
va 
ox
to‘g ‘ri  tanlangan  boisa,  u  holda  3-egrilikni  olishimiz
dx
mumkin.  Bu  hól  uchun  egrilik  botiqligi  yuqoriga  qaragan 
o‘qidan  yuqorida  joylashgan, 
x
  ni  ortishi  bilan  \|/(x)  asimptotik  nolga 
intiladi.  Bu  hol bizni  qanoatlantiradigan  yechimdir.
Endi  shu  3-egriIikni 
x
 ni  kamayishi tomon  ko'rinishini tahlil  qilay- 
lik.  Bunda  ham  x  ->  -«>  da  \|í  funksiya  esa  musbat  yoki  manfiy  q iy­
matga  ega  bo'lgan  cheksizlikka  ega  bo'lishi  lozim.  Shu  hollardan  biri 
13.6-rasmda  \|/(x)  uchun  shtrixiar bilan  ko'rsatilgan.  Shundw  qilib 
U{x) 
ni  berilgan  grafigi  uchun  va 
E
  ni  erkli  tanlaganimizda  Shryodinger 
tenglamasi  normal  yechimga  ega  emas.  Biroq 
E
  ni  turlicha  tanlash 
yo'li  bilan  tasodifan  shunday  E,  ni  topish  mumkinki,  V|í(x)-funksiya  x 
ning  har  qanday  qiymatida  to'g'ri  yo'l  tutishi  mumkin.  «Hulq»i  to'g'ri 
boigan  v(x)  lardan  biri  13.7-rasmda  tasvirlangan.  Bundan  potensial 
o'rada  bog'lanib  qolgan  zarra  uchun  yagona  energiya  mavjud  ekan 
degan  xulosaga  kelamizmi?  Yo'q.  Boshqalari  ham, 
Е^ЯгЯг,  -
  kabilari 
ham  bo'lishi  mumkin.  Bu  xususiy  qiymatlari  uchun  ham, 
xususiy  to'lqin  funksiyalaming  «hulqi»  ham  yaxshi  bo'lishi  mumkin. 
Shunday  qilib,  quyidagi  xulosaga  kelamiz.  Agar  zarra  potensial  o‘raga 
kirib  qolgan  bo  Isa,  u  holda  uning  energ¡iyasi  aniq  bir  qiymatlar  olib 
diskret  energetik  spektr  hosil  qiladi.  Ko'rib  turibsizki,  kvant  fizikaning

KVANT  F IZ IK A SI
eng  muhim  faktini  Shryodingerning  differensial  tenglamasi  tavsi- 
flayapti.  Sizga  bir  narsani  eslatib  o‘tamiz.  Agar 
E>U
  boisa,  u  holda 
diskret  yechimlar  hosil  boim aydi  va  bu  holda  energiya  istalgan  qiy­
matga  ega  bo iad i  va  natijada,  uzluksiz  spektr  hosil  boiadi.  Masalan, 
shunday  hol  erkin  elektronlar  potensial  o‘radan  sochilganda  yuz 
beradi.  13.8-rasmda  5  ta  bogiangan  energetik  holat  uchun  \)/(x  funk­
siyaning  shakllari  va  13.9-rasmda  esa  erkli  formadagi  potensial  ener­
giya  uchun  Shryodinger  bir  oicham li  tenglamasidan  energiyaning 
kvantlanish  masalasi va  shuningdek,  uzluksiz spektr tasvirlangan.
\
13.7-Tosm.
13.8-rasm.
13.8.  Statsionar holatlar
Uzluksiz 
spektrlar 
—
-I--------
13.9-rasm.
Shryodingerning  (13.45)  tenglamasi vaqt  o'tishi  bilan  mikrozarralar 
harakatining  holatini  o'zgarmasdan  qolishini  tavsiflovchi  tenglama  va 
u  energiya  o'zgarmay  qolganda  bajariladi.  Odatda,  bunday  holatni 
statsionar holat
 deymiz.
293

KVANT  F IZ IK A SI
Statsionar  holatda  zarra  vaqt  o'tishi  bilan  fazoning  biror  nuqtasidan 
boshqa  nuqtasiga  ko'chib  o'tadi  va  bu  ko'chish  qandaydir  traektoriya 
bilan  ro'y  beradi,  deb  aytolmaymiz.  Klassik  fizikada  zarraning  harakati 
deganda,  uni  vaqt  o'tishi  bilan  fazodagi  ko'chishini  tushunamiz.  Kvant 
mexanikada zarra harakati degan tushuncha kengroq ma’no  anglatadi.
Harakat  bu  statsionar  holatga  keiish  bilan  bog'lanmagan,  balki 
harakat  statsionar holatning o'^arishi  bilan  bog'langan.  Statsionar holat 
tushunchasiga bunday qarash juda  chuqur ma’noga  ega,  chunki  olamda 
nimadir  sodir  bo'lar  ekan,  demak,  nlmadir  o'zgaryapti.  Agar  hech  narsa 
o'zgarmaganda edi,  hech narsa  ham sodir bo'lmagan  bo'lar edi.
Agar  dunyoning  barcha  tarkibiy  qismlari  statsionar  holatga  o't- 
ganda  edi,  u  holda  bu  o'tish  Koinot  hayotida  juda  ham  buyuk  voqea 
sodir  bo'lganda  bo'lar  edi.  Bu  voqeadan  so'ng  uning  yashashi  to'xtab 
qolgan  bo'lar  edi.  Shuningdek,  agar  Koinot  biror  statsionar  holatdan 
nostatsionar  holatga  o'tsa,  bu  ham buyuk voqea.  Koinotning  yaratilishi
-   buyuk  voqea.  10-15  milliard  yil  aw al  « b u ^ k   portlash»  tufayli  Koi­
not  yaratilishi  -   bu  statsionar  holatdan  nostatsionar  holatga  o'tish 
mahsuli.  Afsuski,  bu  haqda  hech  kim  hech  narsa  bilmaydi,  chunki  «bu­
yuk  portlash»  gacha  Koinot  qanday  holatda  bo'lganligi  haqida  hech 
narsa  ma’lum emas.
Koinot  holati  umuman  (yaxlit)  olganda  statsionar  emas,  biroq  un­
ing  tarkibiy  qismlari  {masalan,  atomlar)  statsionar  holatlarda  bo'lishi 
mumkin.  Bu  holatlar  abadiy  bo'lganda  edi,  ular  bilan  hech  nima  sodir 
bo'lmas  edi.  Biz  ham  u  haqida  hech  narsa  bilmagan  edik.  Ularning 
borligini  bilish  uchun  esa  statsionar  holatni  o'zgartirish  kerak.  Stat­
sionar  holatning  o'zgarishini  bilish  uchun  esa,  awalambor,  statsionar 
holatlarning  o'zi haqida  ma’lumotga  ega  bo'Iishimiz kerak.
Statsionar  holatlar  fizik  dunyoni  tavsiflashda  fundamental  bosh- 
lang'ich  momentdir.  Statsionar holatlarning  fundamental  xossasi  uning 
yaxlitligidir.  Statsionar holatlarning  fizik  xossalaridan  matematik  talab­
lar  kelib  chiqadi  va  bu  talablar  statsionar  holatni  tavsiflovchi  to'lqin 
funksiyaga  qo'yiladi.
Statsionar  holatning  bosh  xossasi  orqali  fotonning  harakati  tavsi- 
flanadi.  Foton  yaxlitligi  va  uni  qismlarga  bo'lib  bo'lmasligi  bosh  xossa 
oldida  yotadi.
Kvant  mexanika  masalalarini  to'g'ri  tushuntirish  uchun  statsionar 
holat  tushunchasi  haqida  alohida  so'z  yuritish  kerak.  Statsionar  holat­
ning to'lqin  funksiyasi:
_iEt
v(x, 
y, z, 
t) 
=
  \|/(x, y, z) • e 
. 
(13.46)
Kvant  mexanikada  statsionar  holat  deganda,  vaqtga  bog'liq 
bo'lmagan holat  emas,  balki  (13.46)  qonun  bo'yicha  o'zgaradigan  holat 
tushuniladi.
Statsionar  holatning  eng  muhim  alomati  shundaki,  istalgan  mex­
anik  kattalikni  matematik  ifodasi  doimo  o'zgarmas,  uning  ope-ratori 
oshkor ravishda vaqtga bog'liq emas.  Haqiqatan ham
A  
Æ
 
A  
J
li
( l)   = 
jy\f'(x,y,z,t)L\\r{x,y,z,t)dv=  je   " vf’(x, y, z) ■
  L- e
  * \)/(x, y, z,)dv = 
? 0 4 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

KVANT  F IZ IK A SI
=  e
IB 
' h
lEl 
^  
^
e
  *  j\^f'{x,y,z)L\^f{x,y,z)dv=  j\^f'{x,y,z)L\\f{x,y,z)dv
Statsionar  holatda  elektron  zichligini  taqsimlanishi  ham  vaqtga 
bo giiq   emas:
\|/(x.y,z,if  = 
} v ix .y ,z f
  .
Bundan  kelib  chiqadiki,  yakkalangan  molekulada  uning  taqsim­
lanishi  o'zining  erkligiga  o'zgaradi.  Masalan,  benzolning
holatdan 
holatga  o'tishi  (yoki  aksincha)  kvant  mex­
anika  nuqtayi nazaridan xato  tushunchadir.
SAVOLLAR
1.  Atom  uchun  de-Broyl  modeü  bilan  Shryodinger  modelini  ay ­
ting va  ular orasidagi  asosiy farqlarini tushuntiring.
2.  Erkin  harakat  qilayotgan  zarra  uchun  bir  o'lchamli  fazoda 
Shryodinger tenglamasini yozing va  tushuntiring.
■ 
■ 
■ 
n
va tushuntiring.
3.  Potensial  maydonda  harakat  qilayotgan  zarra  uchun  bir  o 'l­
chamli fazoda  Shryodinger tenglamasini yozing va tushuntiring.
4.  Uch  o'lchamli  fazoda  harakat  qilayotgan  zarra  uchun  Shryod­
inger tenglamasini yozing va tushuntiring.
5.  Uch  o'lchamli  fazoda  erkin  harakat  qilayotgan  zarra  uchun 
Shryodinger tenglamasini yozing va  tushuntiring.
6.  Shryodinger  tenglamasi  empirik  tenglamami  yoki  biror  nazariy 
usulda keltirib  chiqarish  mumkinmi?
7.  Vaqtdagi  ko'chirish  operatori  ko'rinishini yozing,  uning  klassik 
fizika  asosidan keltirib  chiqarish  mumkinmi?
8.  Kvant  mexanikada  gamiltonian  qanday yoziladi?
9.  To'la  energiya va  impuls  uchun  differensial  spektrlarni  yozing.
10. To'lqin  funksiyaga  qanday talablar qo'yiladi?
11. Uzluksiz  bir  qiymatli  va  chekli  kabi  matematik  tushunchalarni 
izohlang.
12.  lim^(x,/)—»0  ifodani  ma’nosini tushuntiring.
13.  Superpozitsiya prinsipini tushuntiring.
14.  l^(jc,i) 
dv = 0
  ifodaning  fizik  ma’nosini  tushuntiring.
15. 
^ ( x , t f d v
 = OO ifodaning  fizik ma’nosini tushuntiring.
16.  j  
dv
 = 1 
ifodaning fizik ma’nosini tushuntiring.

KVANT  FIZ IK A SI
17. Shryodinger tenglamasining  differensial ko'rinishini  izohlang.
18  Shryodinger  tenglamasining  operator  ko'rinishida  yozing  va 
izohlang.
19.  To'la  energiya  operatori  va  gamilton  operatorini  yozing  va 
farqini  izohlang.
, 
dy/
20. 
in - —
  ifoda  oldidagi 
i
  soni  nimani  ifodalaydi?  Jarayonni
ot
davomiy yoki  qaytmas  ekanligini  qanday tushuntirish  mumkin?
21.  Klassik  fizikadagi  tenglamalarda 
i
  sonini  qatnashishini  qanday 
izohlash  mumkin?
22.  Kvant  mexanikada  kompleks  sonni  ishtirok  etishi  nimani 
anglatadi?
23.  Shryodinger  tenglamasining  yechimi  bo'lgan  to'lqin  funksiya 
de-Broyl  munosabatlari  va  to'la  energiya  formulasi  bilan  mos  kelishi 
kerak  degan  tushunchani  kengroq  tushuntiring.
24.  Shryodingeming  statsionar tenglamasini yozing.
25.  Shryodingeming  statsionar  tenglamasida  to'lqin  funksiya  qan­
day ko'rinishda yoziladi?
26.  Shryodinger  tenglamasidan  foydalanib,  massani  saqlanish  qo­
nunini yozing.
27.  Shryodinger  tenglamasidan  foydalanib,  elektr  zaryadni  saq­
lanish  qonunini yozing.
28.  Uzluksiz  fazoviy  o'zgaruvchilar  qatnashgan  differensial  teng­
lamadan  energiyani  kavntlanishi  qanday kelib  chiqadi?
a y
d^x
30.  Shryodingeming  statsiornar  tenglamasining  umumiy  xossa­
larini  ko'rsating.
31.  Statsionar holat deganda,  nimani tushunasiz?
32.  Statsionar  holatga  kengroq  falsafiy urg'u  bering.
33.  Statsionar  holatni  tavsiflash  uchun  to'lqin  funksiya  qanday 
ko'rinishda  olinadi va  uni  tushuntiring.
34.  Shu  bob  haqida  o'z  tasawuringizni  bayon  qilishga  harakat  qil­
ing.
29.  —^   ifoda  matematik  nuqtayi  nazardan  nimani  anglatadi?
MASALALAR
13.1.  Ozod  zarra  to'lqin  funksiyasini  qanoatlantiruvchi  tenglamani 
yozing va tushuntiring.
13.2.  Ehtimolni  saqlanishi  uchun  //  operatorga  qanday  talablar 
qo'yiladi?
13.3.  Moslik  prinsipiga  tayanib, 
h
 
operatorni  ta’riflang.
13.4.  To'lqin  tenglama  nimani  ifodalaydi?
13.5.  Ehtimol  tokining  umumiy tenglamasini yozing.
13.6. 
[H)~
 o'rtacha  energiya  ekanligini  isbotlang.

KVANT  FIZ IK A SI
13.7.  Kvant  mexanikada  energiyani saqlanish  qonunini yozing.
13.8.  Vaqtning  f = 0  momentida  erkin zarraning  to'lqin  funksiyasi
/ 
\ 
XPo
n
I
exp
/ • 
Л 
^XPo
h
ko'ri­
nishda  bo'lsa,  u  holda  keyingi  vaqt  momentlari  uchun  to'lqin  funksi­
yani  toping.
13.9.  Agar  potensial  energiya  vaqtga  bog'liq  bo'lmasa,  Sh:^od- 
ingerning  vaqtga  bog'liq  tenglamasi  statsionar  yechim  berishini 
ko'rsating.
13.10.  Agar  potensial  energiyani  sanoq  boshini 
ga  o'zgartirsak, 
statsionar holatni tavsiflovchi to'la to'lqin  funksiya  qanday o'zgaradi?
*  
J 
_
13.11.  Shryodinger  tenglamasidan  foydalanib,  —  
Щу/dT — v
dt
tenglikni  keltirib  chiqaring.
13.12.  Statsionar  holatlar  uchun  ehtimol  zichligi  va  tok  zichligi 
ehtimolini vaqtga  bog'liq  emasligini ko'rsating.
13.13.  Statsionar  holatlarda  istalgan  fizikaviy kattalikning  biror  q i­
ymatga  ega  bo'lishi  ehtimolini vaqtga  bog'liq  emasligini  ko'rsating,
13.14.  Erkin  zarra  uchun  Shryodingerning  vaqtga  bog'liq  tengla­
masini  umumiy yechimini  toping.
13.15.  Erkin  harakat  qilayotgan  zarra  uzluksiz  energetik  spektrga 
ega  ekanligini  ko'rsating,
13.16.  O'zining  inertsiya  markazi  tekisligi  atrofida  aylanayotgan 
ikkita  bir-biriga  mustahkam  bog'langan  zarralardan  tashkil  topgan 
sistema 
yassi  rotator
  deyiladi.  Bu  rotatorning  energiya  operatori
// 
__  (bunda, 
I
  inersiya  momenti).  Agar 
f 
= 0  momentda
2 1   dç^
to'lqin  funksiya 
= Asin^ Ç)
  ko'rinishga  ega  bo'lsa,  yassi  rotator
holati vaqt  bo'yicha  qanday o'zgaradi?
Tok  zichligi  ehtimoli 
j  
ni aniqlang.
13.17.  t = 0  momentda  erkin  zarrani  tavsiflovchi  to'lqin  funksiya
l//{

 = J e   " 
ko'rinishga  ega.  A  koeffitsiyentni  va  zarra  local-
lashgan  sohani  toping.  Ток  zichligi  ehtimoli 
j
 ni  aniqlang.
13.18.  da  keltirilgan  funksiya  uchun  Fure  koeffitsiyentlarini  toping 
va 
к
  fazodagi  to'lqin-paket  kenghgini  hisoblang.  Noaniqlik  munosa­
batini  tekshiring.
13.19.  Zarra  erkin  harakat  qilayotgan  bo'lsa,  uning  energiyasi,  im­
puls  proeksiyasi,  impuls  momenti  hamda  proeksiyasi  saqlanadimi?
13.20.  Zarra  harakat  qilayotgan  paytda  qaysi  bir  mexanik  kattalik­
lar 
{E,  p^,
  Py,  p^,  4 , 
Ly, 
l?)
  saqlanadi:  a) 
[/(z) = az
  bir jinsli  potensial

KVANT  F IZ IK A SI
maydon  boisin;  b) 
Ulr)
  markaziy  simmetrik  potensial  maydon  boisin; 
d) 
u(z,t) = a(t}z
 bir jinsli o'zgaruvchan  maydon bo'lsin.
13.21.  Massasi 
m
  va  impulsi 
E
  ga  teng  bo'lgan  erkin  norelativistik 
zarra 
x-o‘qi
  bo'yicha  harakat  qilyapti.  Bu  zarra  uchun 
x
  o'qi  va  x
o'qining  teskari  yo'nalishida  psi-funksiya 
uchun  ifodani  yoz­
ing.
13.22.  f-massa  va 
p
  impulsga  ega  bo'lgan  norelativistik  erkin 
zarra  uchun 
\j/p(r,t)
  ifodasini  yozing. 
y/p{r,t)
  funksiyani  qanoatlan­
tiruvchi  differensial  tenglamani  xususiy  funksiya  va  qiymatlar  uchun 
yozing.
13.23.  Zarraning  holati 
y/ix)
  funksiya  bilan  tasvirlanadi.  p,  va 
-
kuzatish  nuqtalarida  olingan 
va  A)^  hajmlarda  zarrani  kuzatish
ehtimolini  taqqoslang.
13.24.  Massasi 
t
  bo'lgan  zarrani  tavsiflovchi  to'lqin  tenglama  chi­
ziqli differensial  tenglama bo'lishi kerak,  degani  nimani bildiradi?